Номер страницы: 1 ...  85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99  100  101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114  ... 216

3144. В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=15^{\circ}$. На гипотенузу $AB=12$ опущена высота $CH$. Найти $CH$.

3145. Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения его биссектрис.

3146. Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения срединных перпендикуляров к его сторонам. (Срединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через его середину перпендикулярно данному отрезку).

3147. Из прозрачного листа бумаги вырезан круг. Объясните, как, не используя чертёжных инструментов, найти центр этого круга.

3148. Приведите пример неравностороннего треугольника, который можно (двумя линиями реза) разрезать на три равных треугольника.

3149. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, причем $AC>BC$. Доказать, что угол $AKC$ — тупой.

3150. В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, причем $\angle BAH > \angle CAH$. Какая сторона больше, $AB$ или $AC$?

3151. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 5$.‍ Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

3152. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 2$.‍ Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

3153. Доказать, что $4x^2+y^2-12x+2y+15 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.

3154. Доказать, что $9x^2+y^2-12x-8y+25 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.

3155. Доказать, что $4x^2+y^2-4x+8y+22 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.

3156. Доказать, что $25x^2+y^2-20x-10y+34 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.

3157. Доказать, что $\displaystyle x^2+\frac{9}{x^2} \geqslant 6 \quad \forall x \neq 0$. Указать, при каких $x$ достигается равенство.

3158. Доказать, что $\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2} \geqslant 4 \quad \forall x \neq 0$. Указать, при каких $x$ достигается равенство.

3159. Доказать, что $\displaystyle \frac{3x+2}{x-1} > 3$ при $x > 1$.

3160. Доказать, что $\displaystyle \frac{5x+2}{x-1} > 5$ при $x > 1$.

3161. Доказать, что $\displaystyle \frac{3x+2}{x-1} < 3$ при $x < 1$.

3162. Доказать, что $\displaystyle \frac{5x+2}{x-1} < 5$ при $x < 1$.

3163. а) Доказать, что $|x-2|+|x+3| \geqslant 5 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-2|+|x+3|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.

3164. а) Доказать, что $|x-1|+|x+2| \geqslant 3 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-1|+|x+2|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.

3165. а) Доказать, что $|x-2|+|x+1| \geqslant 3 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-2|+|x+1|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.

3166. а) Доказать, что $|x-2|+|x-3| \geqslant 1 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-2|+|x-3|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.

3167. Доказать, что $\displaystyle a^2+b^2 \geqslant \frac12$ для всех $a$ и $b$ таких, что $a+b=1$. Указать, при каких $a$ и $b$ достигается равенство.

3168. Доказать, что $\displaystyle a^2+b^2 \geqslant \frac92$ для всех $a$ и $b$ таких, что $a+b=3$. Указать, при каких $a$ и $b$ достигается равенство.

3169. Доказать, что $4y-25x^2-4y^2-30x-7 \leqslant 3$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.

3170. Доказать, что $x^2+y^2 \geqslant 9$ для всех $x$ и $y$ таких, что $3x+4y=15$. Указать $x$ и $y$, при которых достигается равенство.

3171. Доказать, что $\displaystyle \frac{2-5x}{3x-6} < -\frac{5}{3}$ при $x > 2$.

3172. Доказать, что $|x^2-1|+|x^2-4| \geqslant 3$. Указать $x$, при которых достигается равенство.

3173. Решить уравнение: $\displaystyle\frac{8^{2x-1}\cdot16}{2^{3x}}=128$.