Ответ: $1287/95$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-21 23:05:06
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $105\sqrt7/32$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-21 23:34:41
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 7, 15 и 20
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-21 23:52:09
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $12\sqrt5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-21 23:58:59
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $32\sqrt2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 00:00:38
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-5$; $3$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:05:56
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $2$; $10$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:07:36
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $0$; $5$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:08:54
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-1$; $8$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:10:29
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) $2\sqrt{x+4}=x+4$;
б) $2\sqrt{x+4}=x+5$.
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $2\sqrt{x+4}=x+a$ не имеет решений.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:16:12
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) $2\sqrt{4-x}=4-x$;
б) $2\sqrt{4-x}=5-x$.
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $2\sqrt{4-x}=a-x$ имеет ровно одно решение.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:19:02
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) $2\sqrt{x+1}=x+1$;
б) $2\sqrt{x+1}=x+2$.
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $2\sqrt{x+1}=x+a$ имеет ровно два корня.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:26:25
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) $2\sqrt{5-x}=5-x$;
б) $2\sqrt{5-x}=6-x$.
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $2\sqrt{5-x}=a-x$ имеет ровно один корень.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:29:37
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(-2;~1)$, $(3;~2)$, $(8;~3)$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:36:56
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(-7;~3)$, $(-2;~2)$, $(3;~1)$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:38:41
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(-3;~1)$, $(6;~2)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:40:42
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(-5;~2)$, $(2;~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-22 23:42:13
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{(3\sqrt5)^2-6^2}=3$. Из прямоугольного треугольника $CBH$ по теореме Пифагора найдем $CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-6^2}=2$. Теперь $AC=AH+CH=3+2=5$. Площадь треугольника $ABC$ равна $\displaystyle S=\frac{1}{2} BH \cdot AC=\frac12 \cdot 6 \cdot 5 = 15$. Тогда высота, проведенная из вершины $C$, равна $\displaystyle \frac{2S}{AB}=\frac{2\cdot15}{3\sqrt5}=2\sqrt5$. Высота, проведенная из вершины $A$, равна $\displaystyle \frac{2S}{BC}=\frac{2\cdot15}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $2\sqrt5$, $\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{2}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 02:13:18
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Так как в равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию, является медианой, то $AH=CH=3$. Из треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(3\sqrt{10})^2-3^2}=9$.
Пусть теперь $OH=x$. Из треугольника $AOC$ по теореме Пифагора $AO=\sqrt{AH^2+OH^2}=\sqrt{3^2+x^2}=\sqrt{x^2+9}$. С другой стороны, $AO=OB$ по условию задачи и $AO+OH=BH$. Таким образом, составим уравнение $$\sqrt{x^2+9}+x=9,$$ решая которое, получим $x=4$.
Ответ: 4
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 02:20:12
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Найти радиус этой окружности.
б) Доказать, что $AO:OC=AB:BC$.
в) Найти $OB$.
Решение. а) Площадь треугольника $ABC$ найдём по формуле Герона: $S=\sqrt{18\cdot(18-17)(18-10)(18-9)}=36$. Пусть $r$ — искомый радиус окружности, тогда $$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{BOC}=\frac12 \cdot AB\cdot r+\frac12 \cdot BC\cdot r,$$ откуда $\displaystyle r=\frac{2S}{AB+BC}=\frac{2\cdot36}{10+9}=\frac{72}{19}$.
б) Сами справитесь, не маленькие.
в) Пусть окружность касается стороны $AB$ в точке $M$; $OM=r$. Так как $AO:OC=AB:BC=10:9$ и $AC=17$, то $\displaystyle AO=17\cdot\frac{10}{19}=\frac{170}{19}$. Из треугольника $AOM$ по теореме Пифагора найдём $\displaystyle AM=\sqrt{AO^2-r^2}=\sqrt{\left(\frac{170}{19}\right)^2-\left(\frac{72}{19}\right)^2}=\frac{154}{19}$. Теперь $\displaystyle BM=AB-AM=10-\frac{154}{19}=\frac{36}{19}$. Наконец, из треугольника $BMO$ по теореме Пифагора находим $\displaystyle OB=\sqrt{BM^2+OM^2}=\sqrt{\left(\frac{36}{19}\right)^2+\left(\frac{72}{19}\right)^2}=\frac{36\sqrt5}{19}$.
Ответ: а) $\displaystyle \frac{72}{19}$; в) $\displaystyle \frac{36\sqrt5}{19}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 02:37:43
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Площадь треугольника $ABC$ найдём по формуле Герона: $S=\sqrt{21\cdot(21-15)(21-7)(21-20)}=42$.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, следовательно $S_{ABM}=S_{AMC}=21$.
Так как $BK$ — биссектриса в треугольнике $ABC$, то $$\frac{S_{ABK}}{S_{BKC}}=\frac{AK}{CK}=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{7},$$ откуда $\displaystyle S_{ABK}=\frac{15}{22}\cdot42=\frac{315}{11}$.
Так как $BO$ — биссектриса в треугольнике $ABM$, то $$\frac{S_{AOB}}{S_{BOM}}=\frac{AO}{OM}=\frac{AB}{BM}=\frac{15}{7/2}=\frac{30}{7},$$ откуда $\displaystyle S_{AOB}=\frac{30}{37}\cdot21=\frac{630}{37}$.
Теперь находим $\displaystyle S_{AOK}=S_{ABK}-S_{AOB}=\frac{315}{11}-\frac{630}{37}=\frac{4725}{407}$ и, наконец, $\displaystyle S_{OMCK}=S_{AMC}-S_{AOK}=21-\frac{4725}{407}=\frac{3822}{407}$.
Ответ: $\displaystyle \frac{3822}{407}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 02:48:52
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Найти площадь трапеции $ABCD$.
б) Найти площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагоналями, если $AD:BC=6:1$.
Решение. а) Так как средняя линия трапеции равна $10{,}5$, то сумма оснований равна $AD+BC=2\cdot10{,}5=21$.
Проведем через вершину $C$ меньшего основания трапеции прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает луч $[AD)$ в точке $M$. Тогда треугольник $ACM$ равновелик трапеции $ABCD$ (докажите это самостоятельно), а его стороны равны $AC=17$, $CM=BD=10$ и $AM=AD+DM=AD+BC=21$. По формуле Герона $S_{ACM}=\sqrt{24(24-17)(24-10)(24-21)}=84$.
б) Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Так как $AD:BC=6:1$, то $S_{AOD}:S_{BOC}=36:1$. Пусть $S_{BOC}=S$, тогда $S_{AOD}=36\,S$.
$\displaystyle S_{AOB}=S_{COD}=\sqrt{S_{BOC}\cdot S_{AOD}}=\sqrt{S\cdot36\,S}=6S$.
Таким образом, $S_{ABCD}=2S_{AOB}+S_{BOC}+S_{AOD}=2\cdot6S+S+36S=49S=84$, откуда $\displaystyle S=\frac{12}{7}$.
Окончательно имеем: $\displaystyle S_{BOC}=S=\frac{12}{7}$, $\displaystyle S_{AOD}=36S=\frac{36\cdot 12}{7}=\frac{432}{7}$, $\displaystyle S_{AOB}=S_{COD}=6S=\frac{6\cdot 12}{7}=\frac{72}{7}$.
Ответ: а) $84$; б) $\displaystyle\frac{12}{7}$, $\displaystyle\frac{72}{7}$, $\displaystyle\frac{432}{7}$, $\displaystyle\frac{72}{7}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 03:02:53
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу $AB$ опущена высота $CH$. Обозначим $BH=x$, тогда $AH=x+12$. Так как $CH^2=AH\cdot BH$, то $8^2=x(x+12)$. Решив уравнение $x(x+12)=64$, получим $x=4$. Из треугольников $ACH$ и $BCH$ по теореме Пифагора найдём катеты треугольника. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $4\sqrt5$, $8\sqrt5$; 80.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 04:11:37
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $a\in(-5;-4]\cup[5;6)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 10:47:03
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $a=4$; $a=-2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 10:49:50
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $a=-1$; $\displaystyle a=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 10:53:17
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $a\leqslant-5$; $a\geqslant3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 11:03:15
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $a=4$; $a < 3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 11:05:24
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-3$; $5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 11:37:42
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $2\sqrt5$; $\displaystyle\frac{8\sqrt{65}}{13}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-11-24 21:04:01
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru