Решение. Пусть $\displaystyle k=\frac{AD}{BC}$ — искомое отношение оснований, а $S$ — площадь треугольника $BOC$. Так как треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны с коэффициентом подобия $k$, то $S_{AOD}=k^2S$. Площади треугольников $AOB$ и $DOC$ равны $\sqrt{S_{BOC}\cdot S_{AOD}}=\sqrt{S\cdot k^2S}=kS=9$, откуда $\displaystyle S=\frac{9}{k}$. Кроме того, площадь трапеции $ABCD$ равна $S_{ABCD}=S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}+S_{AOB}=S+9+k^2S+9=48$, откуда $(k^2+1)S=30$. Подставив сюда $\displaystyle S=\frac{9}{k}$, получим уравнение $$\frac{k^2+1}{k}=\frac{30}{9},$$ корни которого $k=1$ (не подходит) и $k=3$.
Ответ: $3:1$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-15 08:07:27
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Продлим $AM$ за точку $M$ до пересечения с продолжением основания $BC$. Пусть $S$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BC$, тогда $\triangle AMD=\triangle SMC$; пусть $AD=SC=3x$, $BC=x$, тогда $BS=4x$. Треугольники $BSP$ и $DAP$ подобны с коэффициентом подобия $\displaystyle \frac{BS}{AD}=\frac{4x}{3x}=\frac43$, поэтому $BP:DP=4:3$.
Обозначим $AP=6y$, тогда $\displaystyle PS=\frac43\cdot6y=8y$ и $AS=AP+PS=6y+8y=14y$. Следовательно, $\displaystyle AM=\frac12AS=7y$ и $PM=AM-AP=7y-6y=y$, поэтому $AP:PM=6:1$.
$\displaystyle \frac{S_{ACD}}{S_{BCD}}=\frac{AD}{BC}=\frac{3x}{x}=3$, а площадь трапеции равна $56$, следовательно $S_{ACD}=42$, $S_{BCD}=14$. В треугольнике $ACD$ $AM$ — медиана, следовательно $S_{AMD}=42:2=21$. Но $AP:PM=6:1$, поэтому $S_{PMD}=\frac17S_{AMD}=21:7=3$. Наконец, $S_{BCPM}=S_{BCD}-S_{PMD}=14-3=11$.
Ответ: а) $BP:PD=4:3$; б) $AP:PM=6:1$; в) $S_{BPMC}=11$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-15 08:59:20
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Пусть $BM:MC=k$. Тогда треугольники $KBM$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $\displaystyle \frac{k}{k+1}$ и, следовательно, $\displaystyle S_{KBM}=18\cdot\left(\frac{k}{k+1}\right)^2$. Треугольники $LMC$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $\displaystyle \frac{1}{k+1}$ и, следовательно, $\displaystyle S_{LMC}=18\cdot\left(\frac{1}{k+1}\right)^2$. Сложим площади треугольников $KBM$, $LMC$ и параллелограмма $AKML$: $$18\cdot\left(\frac{k}{k+1}\right)^2 + 18\cdot\left(\frac{1}{k+1}\right)^2 + 5 = 18,$$ откуда $\displaystyle \frac{k^2+1}{(k+1)^2}=\frac{13}{18}$ и, следовательно, $5k^2-26k+5=0$. Решив это уравнение, получим $k=5$ и $k=1/5$.
Ответ: $5$ или $1/5$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-15 09:21:51
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. По формуле Герона найдём площадь треугольника: $p=(10+17+21)/2=24$, $S=\sqrt{24\cdot14\cdot7\cdot3}=84$. Тогда высота треугольника, опущенная на большую сторону, равна $\displaystyle \frac{2\cdot84}{21}=8$. Пусть та сторона прямоугольника, что лежит на стороне $21$, равна $x$, тогда другая сторона равна $12-x$. Составим уравнение: $$\frac{x}{21}=\frac{8-(12-x)}{8},$$ откуда $\displaystyle x=\frac{84}{13}$. Вторая сторона равна $\displaystyle 12-x=\frac{72}{13}$.
Ответ: $\displaystyle \frac{72}{13}$, $\displaystyle \frac{84}{13}$,
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-15 09:32:38
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 3
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:25:46
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:25:54
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:26:01
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 3
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:26:09
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 3
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:26:16
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:26:22
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ: а) $BP:PD=7:3$; б) $AP:PM=9:1$; в) $S_{BPMC}=18$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:50:28
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ: а) $BP:PD=7:2$; б) $AP:PM=8:1$; в) $S_{BPMC}=17$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:50:53
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ: а) $BP:PD=11:6$; б) $AP:PM=15:2$; в) $S_{BPMC}=36{,}5$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:51:04
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ: а) $BP:PD=7:6$; б) $AP:PM=10:3$; в) $S_{BPMC}=47$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:51:14
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ: а) $BP:PD=5:2$; б) $AP:PM=6:1$; в) $S_{BPMC}=19$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:51:24
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) отношение $BP:PD$;
б) отношение $AP:PM$;
в) площадь четырёхугольника $BPMC$.
Ответ: а) $BP:PD=7:6$; б) $AP:PM=9:4$; в) $S_{BPMC}=18$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 13:51:33
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 12
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:00:34
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 16
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:00:52
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 24
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:00:59
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 6
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:01:06
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 8
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:01:13
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 21
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:01:18
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(\sqrt{15}+3):2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:09:27
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $2\sqrt3+3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:09:35
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(\sqrt{3}+1):2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:09:42
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(\sqrt{10}+2):3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:09:49
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(\sqrt{5}+1):4$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:09:56
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $2\sqrt5+4$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:10:03
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 6
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:41:05
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 16
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-12-16 14:41:12
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru