Номер страницы: 1 ...  121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135  136  137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150  ... 216

4250. На окружности выбраны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, что дуги $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ относятся как $3 : 2 : 13 : 7$ соответственно.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.

4251. Через точку $M$, удаленную на расстояние $8{,}5$ от центра окружности диаметра 25, проведена хорда длины 20. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.

4252. Через точку $M$, удаленную на расстояние 12 от центра окружности радиуса 16, проведена хорда длины 22. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.

4253. Окружность касается сторон $AD$, $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ в точках $M$, $K$ и $N$ соответственно. Отрезок $BM$ пересекает окружность в точке $P$. Найти сторону $AB$ прямоугольника, если хорда $PM$ окружности равна $2\sqrt5$.

4254. Окружность касается сторон $AD$, $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ в точках $M$, $K$ и $N$ соответственно. Отрезок $BM$ пересекает окружность в точке $P$. Найти сторону $AB$ прямоугольника, если хорда $PM$ окружности равна $6\sqrt5$.

4255. Окружность проходит через вершины $A$ и $D$ прямоугольника $ABCD$ и касается стороны $BC$ в ее середине. Через точку $C$ к окружности проведена касательная $CK$ ($K$ — точка касания), которая пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$. Найти площадь трапеции $ABCE$, если $AD=4$ и $ED : EK=2:3$.

4256. Окружность проходит через вершины $A$ и $D$ прямоугольника $ABCD$ и касается стороны $BC$ в ее середине. Через точку $C$ к окружности проведена касательная $CK$ ($K$ — точка касания), которая пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$. Найти площадь трапеции $ABCE$, если $AD=6$ и $ED : EK=3:7$.

4257. Окружность разделена точками $A$, $B$, $C$, $D$ так, что $\smile AB:\smile BC:\smile CD:\smile DA=2:3:5:6$. Проведены хорды $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $M$. Найдите угол $AMB$.

4258. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ — прямой, $AC:AB=4:5$. Окружность с центром на катете $AC$ касается гипотенузы $AB$ и пересекает катет $BC$ в точке $P$, причём $BP:PC=2:3$. Найдите отношение радиуса окружности к катету $BC$.

4259. Центр окружности, касающейся стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $B$ и проходящей через точку $A$, лежит на отрезке $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $BC=6$ и $AC=9$.

4260. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AC=4$, $AB=BC=6$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в её середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $DEC$.

4261. Доказать, что $\displaystyle \frac{ac^2+b}{c} \geqslant 2\sqrt{ab}$, если $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$, $c > 0$.

4262. Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geqslant 9$.

4263. Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle \frac{ad+bc}{bd}+\frac{bc+ad}{ac} \geqslant 4$.

4264. Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geqslant 3$.

4265. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $4\sqrt3$ и острым углом $30^{\circ}$ на большем катете как на диаметре построена окружность. Найти площадь части круга, отсекаемой гипотенузой и расположенной вне треугольника.

4266. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $4\sqrt3$ и острым углом $30^{\circ}$ на меньшем катете как на диаметре построена окружность. Найти площадь части круга, расположенной внутри треугольника.

4267. Площадь кругового сектора равна $6\pi$, а длина дуги — $2\pi$. Найти длину окружности, вписанной в этот сектор.

4268. Радиус окружности, вписанной в круговой сектор, в 3 раза меньше радиуса сектора. Найти длину окружности, вписанной в сектор, если площадь сектора равна $24\pi$.

4269. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если внешний угол меньше внутреннего в 11 раз?

4270. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внутренний угол относится к внешнему как 13:2?

4271. В окружность вписаны равносторонний треугольник и квадрат. Периметр треугольника равен $6\sqrt6$. Найти периметр квадрата.

4272. Около окружности описаны равносторонний треугольник и квадрат. Периметр треугольника равен $9\sqrt3$. Найти периметр квадрата.

4273. Из группы, состоящей из 8 мужчин и 5 женщин, случайно выбирают 6 человек. Какова вероятность того, что из выбранных шести человек не менее четырех женщин?

4274. В корзине 5 синих и 10 красных шариков. Из корзины один за другим достают пять шариков. Какова вероятность, что хотя бы два из них будут синими?

4275. Среди пяти супружеских пар выбирают комиссию из четырёх случайно выбранных человек. Какова вероятность того, что: а) комиссия состоит из двух женщин и двух мужчин; б) в комиссию не входят члены одной семьи?

4276. Вычислить: а) $C_{25}^{22}$; б) $A_{8}^{5}$.

4277. Вычислить: а) $C_{24}^{21}$; б) $A_{7}^{6}$.

4278. Вычислить: а) $C_{30}^{27}$; б) $A_{11}^{4}$.

4279. а) Сколько трехзначных чисел, которые можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4? б) А если никакая цифра не должна появляться дважды в записи числа?