Номер страницы: 1 ...  129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143  144  145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158  ... 217

4490. Решить уравнение: $3x^2-12x-3=\sqrt{16x^2-64x+64}$.

4491. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$9^{x+1}-6a\cdot3^x+a^2-9a+9=0$$ имеет ровно один корень.

4492. Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\sqrt{143x^2-92x-91}}{25x^2-15x-18} \leqslant 0$.

4493. Найти все значения $a$, при которых линии $$y=\frac{x^2-5x+6}{|x-2|}+\frac{x^2-5x+6}{|x-3|} \quad\text{и}\quad x^2-6x+y^2-8y-a^2+25=0$$ имеют ровно три общие точки.

4494. Найти все $x$, при которых числа $\{24\cdot9^x,~35\cdot6^x,~36\cdot4^x\}$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

4495. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AC=4$, $AB=BC=6$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в её середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $DEC$.

4496. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BE$, которую центр $O$ вписанной окружности делит в отношении $BO:OE=2$. Найдите сторону $AB$, если $AC=7$, $BC=8$.

4497. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ вдвое больше стороны $AC$. а) Докажите, что медиана $CM$ перпендикулярна биссектрисе $AK$. б) Найдите сторону $BC$, если известно, что $AC=5$, $AK=4$.

4498. В параллелограмме $KLMN$ сторона $KL$ равна 8. Окружность, касающаяся сторон $NK$ и $NM$, проходит через точку $L$ и пересекает стороны $KL$ и $ML$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Известно, что $KC:LC=4:5$ и $LD:MD=8:1$. Найдите сторону $KN$.

4499. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{aligned} &x^2-2x+y^2-4y \leqslant a^2+6a+4, \\ &|y-x-1| \geqslant a^2 \end{aligned}\right.$$ не имеет решений.

4500. Найти $a$, при котором уравнение $$\sqrt{x^2+2\sqrt7 x+7}+\sqrt{x^2+2\sqrt5 x+5}=a$$ имеет бесконечно много корней.

4501. Найти сумму целочисленных решений неравенства $\displaystyle \frac{2\sqrt{x+4}-x-1}{\sqrt{9-|x+1|}} \geqslant 0$.

4502. В марте проездной стоил 660 рублей. В апреле стоимость проездного увеличилась, что привело к снижению числа проданных билетов на $10\%$, а выручка от их продажи, тем не менее, увеличилась на $8\%$. Сколько стал стоить проездной в апреле?

4503. Решить уравнение: $(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)=24$.

4504. Решить уравнение: $(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=1680$.

4505. Точки $A$ и $D$ лежат на одной из двух параллельных прямых, точки $B$ и $C$ — на другой, причём прямые $AB$ и $CD$ также параллельны. Докажите, что противоположные углы четырёхугольника $ABCD$ равны между собой.

4506. Через середину $M$ отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $A$ и $B$. Докажите, что $M$ также середина $AB$.

4507. $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, причём $AM=MD$. Докажите, что $MD\parallel AC$.

4508. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.

4509. Пусть $AE$ и $CD$ — биссектрисы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Докажите, что $\angle BED=2\angle AED$.

4510. Прямая, проведённая через вершину $C$ треугольника $ABC$ параллельно его биссектрисе $BD$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Найдите углы треугольника $MBC$, если $\angle ABC=110^{\circ}$.

4511. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми гранями.

4512. Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.

4513. Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной четырёхугольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.

4514. Высота правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.

4515. Высота правильной четырёхугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.

4516. В прямом параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с основаниями $ABCD$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=29$, $AD=36$, $BD=25$, $AA_{1}=48$. Найдите площадь сечения $AB_{1}C_{1}D$.

4517. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=AA_{1}=14$. Точка $M$ "--- середина ребра $CC_{1}$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A_{1}$, $D$ и $M$.

4518. Вычислить: $\displaystyle \left(2\frac34-\frac23\right)\cdot4\frac45$.

4519. Вычислить: $\displaystyle \left(5\frac23-\frac29\right)\cdot2\frac47$.