Версия для печати

Номер страницы: 1 ...  16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30  31  32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45  ... 214
1057. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=10$, $AA_1=11$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=8$ и $CK=4$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.
1058. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=8$, $AA_1=11$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=6$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.
1059. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=11$, $AA_1=7$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=2$ и $CK=1$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.
1060. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=11$, $AA_1=10$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=6$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.
1061. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=12$, $AA_1=11$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=3$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.
1062. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=12$, $AA_1=10$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=2$, $CM=6$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.
1063. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости $2x+y-4z+5=0$ и отстоящей от точки $(1,2,0)$ на расстояние $\sqrt{21}$.
1064. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: $\displaystyle\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{2}$ и $\displaystyle\frac{x-7}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{2}$.
1065. Через точку $(1,2,3)$ провести плоскость, перпендикулярную к плоскости $5x-2y+5z-10=0$ и образующую с плоскостью $x-4y-8z+12=0$ угол 45°.
1066. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=\sin x-x\cos x+2\cos x$ на отрезке $[0,\pi]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
1067. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x\sin x+\sin x+\cos x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
1068. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=\sin x-x\cos x-2\cos x$ на отрезке $[-\pi,0]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
1069. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x\sin x-\sin x+\cos x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
1070. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=(x^2-x-2)\sin x+(2x-1)\cos x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
1071. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$ на отрезке $[1,e^2]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
1072. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln x}$ на отрезке $[2,e^2]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
1073. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(4,~4,~3)$ на плоскость $\alpha:~x+2y+2z-9=0$. Найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$.
1074. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(3,~3,~5)$ на плоскость $\alpha:~2x+y+2z-10=0$. Найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$.
1075. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(2,~6,~11)$ на плоскость $\alpha:~x+4y+8z-33=0$. Найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$.
1076. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(7,~6,~3)$ на плоскость $\alpha:~2x+2y+z-11=0$. Найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$.
1077. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+5}{-8}=y-3=\frac{z-4}{3}$ и $\displaystyle\frac{x-2}{-2}=y-5=\frac{z-3}{0}$.
1078. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-2}{-1}$ и $\displaystyle\frac{x-5}{2}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-5}{0}$.
1079. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+3}{-4}=\frac{y-1}{-1}=z-4$ и $\displaystyle\frac{x+2}{-4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-10}{-1}$.
1080. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-5}{4}$ и $\displaystyle\frac{x-3}{-4}=y-7=\frac{z-9}{6}$.
1081. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(-5,~3,~4)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-4}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-3}{2}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
1082. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(2,~2,~2)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-5}{2}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
1083. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(-3,~1,~4)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-2}{1}=\frac{y-6}{4}=\frac{z-11}{8}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
1084. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(2,~1,~5)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-7}{2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-3}{1}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
1085. Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $$\sin2x+\cos x>1.$$
1086. Найти интеграл: $\displaystyle\int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2\,dx$.
© Моисеев Д. В., 2015-2023 г.
Не допускается использование материалов сайта в печатных изданиях и на других сайтах. Авторскими правами защищены каталог, тексты заданий, решения. При возникновении правовых вопросов и споров свяжитесь, пожалуйста, с администратором сайта (см. раздел «О сайте»).