Уравнения прямой
Задачами этого раздела проверяются следующие умения: умение составить уравнение прямой на плоскости (например, уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной); найти координаты точки пересечения прямых; найти расстояние от данной точки до прямой; а также умение оперировать направляющим и нормальным вектором прямой, чтобы находить угол между прямыми.
Ответ: $3x+4y+25=0$, $d=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $M(2,~1)$, $K(-2,~4)$, $MK=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $4x-3y+11=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $4x+3y+25=0$, $d=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $M(-3,~2)$, $K(-2,~7)$, $MK=\sqrt{26}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Замечание. У данной прямой $5x+6y+7=0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec n=(5,~6)$. У прямой, ей параллельной, нормальный вектор должен быть таким же.
Ответ: $5x+6y+8=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $y=-x/2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $3\sqrt{17}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $5x-2y+3=0$; $58$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $AK$: $x-3y+4=0$, $BM$: $3x+y+2=0$; $90^{\circ}$; $(-1,~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, является срединный перпендикуляр отрезка $AB$. Задача сводится к тому, чтобы написать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ перпендикулярно прямой $AB$, и найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.
Координаты точки $O$ (середины отрезка $AB$) равны $$O\left(\frac{-2+4}{2},~\frac{-1+1}{2}\right)=O(1,~0).$$
Нормальным вектором для срединного перпендикуляра может служить любой вектор, коллинеарный вектору $\overline{AB}=(4-(-2), 1-(-1))=\overline{(6,~2)}$. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку $O(1,~0)$ с нормальным вектором $\vec n=(3,~1)$: $3(x-1)+(y-0)=0 \Leftrightarrow y=3-3x$. Осталось положить в этом уравнении $x=0$, чтобы найти координаты точки пересечения данной прямой с осью ординат. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $M(0,~3)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $O(2,~1)$; $(x-2)^2+(y-1)^2=25$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Найдем координаты точки $K$ (середины стороны $AB$): $K(1,~0)$. Так как медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является и высотой, то $CK\perp AB$ и вектор $\overline{AB}=(8,~2)\parallel\overline{(4,~1)}$ может служить нормальным вектором для прямой $CK$. Запишем общее уравнение прямой $CK$, проходящей через точку $K(1,~0)$ с нормальным вектором $\vec n=(4,~1)$: $4(x-1)+y=0 \Leftrightarrow y=4-4x$. Точка $C$ лежит на прямой $CK$, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Будем искать координаты точки $C$ в виде $C(x, 4-4x)$. По условию задачи $AC^2=85$. Составим соответствующее уравнение: $$(x-(-3))^2+(4-4x-(-1))^2=85,$$ решив которое, получим абсциссу точки $C$ (возможно два решения: положение точки $C$ над стороной $AB$ и под ней). Закончите решение задачи самостоятельно.
Ответ: $C(-1,~8)$ или $C(3,~-8)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $(4,~7)$ и $(-4,~-5)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $D(-15,~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x+8y-14=0$; $\displaystyle L\left(\frac{14}{9},~\frac{14}{9}\right)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Пусть прямая, на которой лежит сторона $BC$ квадрата, имеет угловой коэффициент наклона $k$. Так как она проходит через точку $L(4,~7)$, ее уравнение запишем в виде $y=kx-4k+7$ или, что то же самое, $kx-y-4k+7=0$. Так как прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BC$, ее угловой коэффициент наклона равен $-\frac1k$. Эта прямая проходит через точку $M(6,~-2)$, и ее уравнение запишется в виде $y=-\frac{x}{k}+\frac{6}{k}-2$, откуда $x+ky+2k-6=0$.
Теперь найдем расстояние $d_1$ от точки $K(-6,~1)$ до прямой $CD$ с уравнением $x+ky+2k-6=0$ и расстояние $d_2$ от точки $N(-3,~-4)$ до прямой $BC$ с уравнением $kx-y-4k+7=0$:
$$\begin{aligned}
d_1=&\frac{|-6+k\cdot1+2k-6|}{\sqrt{1+k^2}}, \\
d_2=&\frac{|k\cdot(-3)-(-4)-4k+7|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}.
\end{aligned}$$
Приравняв $d_1$ и $d_2$, получим уравнение $|3k-12|=|11-7k|$, откуда $\displaystyle k=-\frac14$ или $k=2{,}3$.
Осталось подставить найденное $\displaystyle k=-\frac14$ в выражение для $d_1$ (или для $d_2$): $$d_1=\frac{\left|3\cdot\left(-\frac14\right)-12\right|}{\sqrt{1+\left(\frac14\right)^2}}=3\sqrt{17}.$$ Площадь квадрата со стороной $3\sqrt{17}$ равна $(3\sqrt{17})^2=153$.
Замечание. При $k=-1/4$ действительно получается квадрат с вершинами в точках $A(-7,~-3)$, $B(-4,~9)$, $C(8,~6)$ и $D(5,~-6)$. Выясните, каков геометрический смысл второго корня: $k=2{,}3$.
Ответ: $153$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Будем искать уравнения этих прямых в виде $y=kx+b$. Так как прямые проходят через точку $M(-6,~-3)$, легко найти (выразить через $k$) коэффициент $b$; при этом получим прямые вида $y=kx+6k-3 \Leftrightarrow kx-y+6k-3$. Уравнение на $k$ составим, воспользовавшись известной формулой для расстояния от точки до прямой: по условию задачи расстояние от точки $(0,~0)$ до прямой $kx-y+6k-3=0$ равно $3$. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $y=-3$, $4x-3y+15=0$, $\text{tg}\,\alpha=4/3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: Центр вписанной окружности $I(2;~1)$; центр описанной окружности $O(0;~-0{,}5)$. Расстояние $|OI=2{,}5|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $4x+3y=1$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2017-12-12 01:56:15
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x-3y+6=0$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2017-12-12 01:57:55
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $4x+y+9=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2017-12-12 02:03:15
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x-4y-2=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2017-12-12 02:04:07
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $y=\frac12x-8$; $(4;~-6)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-03-27 08:02:37
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $y=-6x+8$; $(1;~2)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-03-27 08:03:02
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $y=-\frac32x+4$; $(2;~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-03-27 08:03:27
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $y=-\frac12x+10$; $(4;~8)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2018-03-27 08:03:52
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru