Разное

Номер страницы: 1  2  3 4 5 6 7 8 9 10

4458. По круговой дорожке стадиона длиной 600 м из диаметрально противоположных точек в одном направлении выбегают два спортсмена с постоянными скоростями 26,1 км/ч и 35,1 км/ч. Через какое время спортсмены встретятся в третий раз?

4459. Сколько существует различных пар натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 864?

4460. Сколько существует различных пар натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 648?

4461. Сколько существует различных пар натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 5000?

4462. Сколько существует различных пар натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 1125?

4463. Найти наибольшее натуральное число, не превышающее 700, которое при делении на 7 даёт остаток 6, а при делении на 6 — остаток 5.

4464. Найти наибольшее натуральное число, не превышающее 600, которое при делении на 5 даёт остаток 4, а при делении на 6 — остаток 5.

4465. Найти наибольшее натуральное число, не превышающее 600, которое при делении на 7 даёт остаток 5, а при делении на 6 — остаток 3.

4466. Найти наибольшее натуральное число, не превышающее 800, которое при делении на 13 даёт остаток 12, а при делении на 11 — остаток 7.

4495. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AC=4$, $AB=BC=6$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в её середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $DEC$.

4496. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BE$, которую центр $O$ вписанной окружности делит в отношении $BO:OE=2$. Найдите сторону $AB$, если $AC=7$, $BC=8$.

4497. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ вдвое больше стороны $AC$. а) Докажите, что медиана $CM$ перпендикулярна биссектрисе $AK$. б) Найдите сторону $BC$, если известно, что $AC=5$, $AK=4$.

4498. В параллелограмме $KLMN$ сторона $KL$ равна 8. Окружность, касающаяся сторон $NK$ и $NM$, проходит через точку $L$ и пересекает стороны $KL$ и $ML$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Известно, что $KC:LC=4:5$ и $LD:MD=8:1$. Найдите сторону $KN$.

4505. Точки $A$ и $D$ лежат на одной из двух параллельных прямых, точки $B$ и $C$ — на другой, причём прямые $AB$ и $CD$ также параллельны. Докажите, что противоположные углы четырёхугольника $ABCD$ равны между собой.

4506. Через середину $M$ отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $A$ и $B$. Докажите, что $M$ также середина $AB$.

4507. $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, причём $AM=MD$. Докажите, что $MD\parallel AC$.

4508. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.

4509. Пусть $AE$ и $CD$ — биссектрисы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Докажите, что $\angle BED=2\angle AED$.

4510. Прямая, проведённая через вершину $C$ треугольника $ABC$ параллельно его биссектрисе $BD$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Найдите углы треугольника $MBC$, если $\angle ABC=110^{\circ}$.

4511. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми гранями.

4512. Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.

4513. Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной четырёхугольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.

4514. Высота правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.

4515. Высота правильной четырёхугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.

4516. В прямом параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с основаниями $ABCD$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=29$, $AD=36$, $BD=25$, $AA_{1}=48$. Найдите площадь сечения $AB_{1}C_{1}D$.

4517. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=AA_{1}=14$. Точка $M$ "--- середина ребра $CC_{1}$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A_{1}$, $D$ и $M$.

4542. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.

4543. Боковая грань образует с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды угол $60^{\circ}$. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

4544. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а высота равна 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через одну из сторон основания и середину противоположного бокового ребра.

4545. Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Найдите площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через вершину $C$ и середины рёбер $C_{1}B_{1}$ и $C_{1}D_{1}$.