Окружность

 Версия для печати

Номер страницы: 1  2  3
4272. Около окружности описаны равносторонний треугольник и квадрат. Периметр треугольника равен $9\sqrt3$. Найти периметр квадрата.
4285. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $12:5$, а боковая сторона равна 60. Найдите основание.
4286. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=15$, $BC=12$, $AC=18$. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису, проведённую из вершины $C$?
4287. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, основание равно 24. Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
4288. В параллелограмме $PQRS$ биссектриса угла при вершине $P$, равного $80^{\circ}$, пересекает сторону $RS$ в точке $L$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка $PQ$ и лучей $QR$ и $PL$, если известно, что $PQ=7$.
4289. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно в точках $K$, $M$ и $N$. Найдите угол $KMN$, если $\angle A=70^{\circ}$.
4290. Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство $$r=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},$$ где $r$ — радиус вписанной окружности, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника $ABC$, $a=BC$.
4291. В параллелограмме $ABCD$ с углом $A$, равным $60^{\circ}$, проведена биссектриса угла $B$, пересекающая сторону $CD$ в точке $E$. В треугольник $ECB$ вписана окружность радиуса $R$. Другая окружность вписана в трапецию $ABED$. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
4292. В равнобедренный треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании $BC$, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как $8:5$. Найдите углы треугольника.
4293. Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна 12, а сторона стороны $AD$ равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $E$. Найдите отношение расстояния от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $AED$, к расстоянию от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $DEC$.
6102. Из точки $M$ проведены две касательные к окружности с центром в точке $O$, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности и угол между касательными, если $MA=5\sqrt3$ и $MO=10$.
6103. Из точки $M$ проведены две касательные к окружности с центром в точке $O$, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности и угол между касательными, если $MA=3\sqrt3$ и $MO=6$.
6104. Из точки $M$ проведены две касательные к окружности с центром в точке $O$, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности и угол между касательными, если $MA=7\sqrt3$ и $MO=14$.
6105. Из точки $M$ проведены две касательные к окружности с центром в точке $O$, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности и угол между касательными, если $MA=2\sqrt3$ и $MO=4$.
6106. В угол с вершиной $A$, равный $120^{\circ}$, вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $10\sqrt3$, касающаяся сторон угла в точках $M$ и $K$. Найти $AO$ и $AK=AM$.
6107. В угол с вершиной $A$, равный $120^{\circ}$, вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $5\sqrt3$, касающаяся сторон угла в точках $M$ и $K$. Найти $AO$ и $AK=AM$.
6108. В угол с вершиной $A$, равный $120^{\circ}$, вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $7\sqrt3$, касающаяся сторон угла в точках $M$ и $K$. Найти $AO$ и $AK=AM$.
6109. В угол с вершиной $A$, равный $120^{\circ}$, вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $3\sqrt3$, касающаяся сторон угла в точках $M$ и $K$. Найти $AO$ и $AK=AM$.
6110. К окружностям радиусов 7 и 3, касающимся внешним образом, проведена общая внешняя касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между точками касания.
6111. К окружностям радиусов 5 и 3, касающимся внешним образом, проведена общая внешняя касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между точками касания.
6112. К окружностям радиусов 3 и 1, касающимся внешним образом, проведена общая внешняя касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между точками касания.
6113. К окружностям радиусов 5 и 1, касающимся внешним образом, проведена общая внешняя касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между точками касания.
6231. Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник со сторонами 17, 17 и 16.
6232. Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник со сторонами 25, 25 и 14.
6233. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении $5:3$, считая от вершины. Найти основание треугольника, если боковая сторона равна 20.
6234. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении $5:3$, считая от вершины. Найти основание треугольника, если боковая сторона равна 15.
6235. В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Найти $AP$, $BQ$ и $CR$, если стороны треугольника равны $AB=8$, $BC=7$ и $AC=5$.
6236. В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Найти $AP$, $BQ$ и $CR$, если стороны треугольника равны $AB=8$, $BC=6$ и $AC=4$.
6237. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника делится точкой касания с окружностью на отрезки длины 3 и 10.
6238. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника делится точкой касания с окружностью на отрезки длины 4 и 6.
© Моисеев Д. В., 2015-2023 г.
Не допускается использование материалов сайта в печатных изданиях и на других сайтах. Авторскими правами защищены каталог, тексты заданий, решения. При возникновении правовых вопросов и споров свяжитесь, пожалуйста, с администратором сайта (см. раздел «О сайте»).