1. 1123. Стержень $AB$, длина которого равна $l$, масса $M$, притягивает точку $C$ массы $m$, которая лежит на его продолжении на расстоянии $a$ от ближайшего конца $B$ стержня. Найти силу взаимодействия стержня и точки.
Решение. Пусть $\rho$ — (линейная) плотность стержня, тогда $M=\rho l$. Искомая сила взаимодействия выражается интегралом
$\displaystyle\int_0^l\frac{mk\rho\,dx}{(l+a-x)^2}=mk\rho\,\left.\frac{1}{l+a-x}\right|_0^l=mk\rho\left(\frac1a-\frac{1}{l+a}\right)=\frac{kmM}{a(l+a)}$.
Ответ: $\displaystyle\frac{kmM}{a(l+a)}$
2. 1288. Треугольная пластинка погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки $a$, высота $h$. Найти силу давления воды на пластинку.
Ответ: $\displaystyle\frac{\rho g a h^2}{6}$
3. 1296. Найти силу давления воды на полукруг радиуса $R$, погруженный вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды.
Ответ: $\displaystyle\frac23\rho gR^3$
4. 1299. Треугольная пластинка погружена вертикально в воду так, что ее вершина (противолежащая основанию) лежит на поверхности воды. Основание пластинки $a$, высота $h$. Найти силу давления воды на пластинку.
Ответ: $\displaystyle\frac{\rho g a h^2}{3}$
5. 1307. Два электрических заряда $q_0$ и $q_1$ находятся на оси $Ox$ соответственно в точках $x_0$ и $x_1>x_0$. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку $x_2>x_1$? Коэффициент в выражении для кулоновской силы считать равным $1/(4\pi\varepsilon_0)$.
Ответ: $\displaystyle\frac{q_0q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)$
6. 1647. Найти силу давления воды на круглую пластину радиуса $R$, погруженную вертикально в воду так, что она касается поверхности воды.
Ответ: $\pi \rho g R^3$
7. 1648. Найти силу давления воды на полукруг радиуса $R$, погруженный вертикально в воду так, что он касается поверхности воды, а его диаметр параллелен поверхности воды.
Ответ: $\displaystyle \frac{(3\pi-4)\rho\,g\,R^3}{6}$
8. 1649. Прямоугольная пластина, стороны которой равны $a$ и $b$, вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг стороны $a$. Толщина пластинки равна $d$, плотность материала $\rho$. Найти кинетическую энергию вращения.
Ответ: $\displaystyle\frac16 ab^3d\rho\omega^2$
9. 1650. Треугольная пластина, основание которой равно $a$, а высота $h$, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью $\omega$. Толщина пластинки равна $d$, плотность материала $\rho$. Найти кинетическую энергию вращения.
Ответ: $\displaystyle \frac{1}{24}ah^3d\omega^2\rho$
10. 1651. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого равна $S$, а высота $H$, плавает на поверхности воды. Плотность дерева $\rho$. Какую работу нужно затратить, чтобы поплавок целиком погрузить в воду?
Ответ: $\displaystyle \frac12 gSH^2(1-d)^2$