1. 1254. Вычислить: $\int_0^{e-1}\ln(x+1)\,dx$.

Ответ: 1

2. 1256. Доказать, что если $I_m=\int_1^e\ln^mx\,dx$, то $I_m=e-mI_{m-1}$.

3. 1257. Составить рекуррентную формулу для $I_n=\int_{-1}^0x^ne^x\,dx$ ($n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$).

Ответ: $\displaystyle I_n=\frac{(-1)^{n+1}}{e}-nI_{n-1}$.

4. 1262. Вычислить: $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{x\,dx}{\sin^2 x}$.

Ответ: $\displaystyle\frac{\pi(9-4\sqrt{3})}{36}+\frac12\ln\frac32$

5. 1263. Вычислить: $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x^3\sin x\,dx$.

Ответ: $\pi^3-6\pi$

6. 1293. Применив формулу интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.
Замечание. Этот интеграл берётся также заменой $x=\sin t$, но, пожалуйста, выполните задание: воспользуйтесь интегрированием по частям.

Ответ: $\displaystyle\frac{8\pi+3\sqrt3}{24}$

7. 1304. Преобразовав подынтегральную функцию и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi} x\sin^22x\,dx$.

Ответ: $\displaystyle\frac{15\pi^2-4}{64}$