1. 1287. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\sqrt x$ и прямой $y=x/3$.

Ответ: $\displaystyle\frac{27\pi}{2}$

2. 1291. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ и прямыми $x=-1$, $x=1$.

Ответ: $\displaystyle\frac{\pi^2}{2}$

3. 1295. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной гиперболой $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ и прямыми $x=1$, $x=2$.

Ответ: $\displaystyle\frac{\pi}{2}$

4. 1298. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией $x^2+y^2=25$, прямой $4x=3y$ и осью абсцисс.

Ответ: $\displaystyle\frac{100\pi}{3}$

5. 1302. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной графиком функции $y=e^x$ и прямыми $x=0$ и $y=e^2$.
Указание. $\int\ln^2 x\,dx=x(\ln^2 x-2\ln x+2)+C$.

Ответ: $2\pi(e^2-1)$

6. 1306. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\sin x$ ($0\leqslant x\leqslant\pi$) и ломаной $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-\left|x-\frac{\pi}{2}\right|$.

Ответ: $\displaystyle\frac{\pi(\pi^2-8)}{4}$

7. 1620. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы $y^2=4x$ вокруг своей оси (параболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное 1.

Ответ: $2\pi$

8. 1621. Криволинейная трапеция, ограниченная линией $y=xe^x$ и прямыми $x=1$, $y=0$, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое при этом получается.

Ответ: $\displaystyle\frac{\pi}{4}(e^2-1)$

9. 1638. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $\displaystyle y=\frac{4}{\sqrt{x+1}}$ и прямыми $x=0$, $x=3$.

Ответ: $16\pi\ln 4$

10. 1639. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sin x$ и прямыми $x=0$, $x=\pi$.

Ответ: $\displaystyle\frac{\pi^2}{2}$.

11. 1640. Найти объём шарового слоя, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sqrt{25-x^2}$ и прямыми $x=3$, $x=4$.

Ответ: $\displaystyle \frac{38\pi}{3}$

12. 1641. Найти объём гиперболоида, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sqrt{x^2-1}$ и прямой $x=3$.

Ответ: $\displaystyle\frac{32\pi}{3}$

13. 1642. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, графиком функции $y=2\sqrt{x+4}$ и прямой $x=5$.

Ответ: $130\pi$

14. 1643. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=4-\sqrt x$ и прямыми $x=1$, $x=4$.

Ответ: $\displaystyle\frac{109\pi}{6}$