1. 1358. Найти все (включая комплексные) корни многочлена $x^3-x^2+8x+10$.
Ответ: $-1$, $1\pm3i$
2. 1359. Число $2+i$ является корнем уравнения $x^5-11x^4+64x^3-184x^2+255x=125$. Найти остальные корни.
Ответ: $1$, $3\pm4i$, $2-i$
3. 1360. Решить уравнение $x^8-80x^4-81=0$.
Ответ: $\pm3$, $\pm3i$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\pm\frac{i}{\sqrt2}$, $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}\pm\frac{i}{\sqrt2}$
4. 1361. Решить уравнение $x^6-56x^3=512$.
Ответ: $-2$, $4$, $1\pm\sqrt3 i$, $-2\pm2\sqrt3 i$
5. 1370. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^3-x^2+3x+5=0$
Ответ: $-1$, $1\pm2i$
6. 1371. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^3-3x^2+x+5=0$
Ответ: $-1$, $2\pm i$
7. 1372. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^6-7x^3-8=0$
Ответ: $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}\,i-1}{2}$, $\displaystyle\frac{\sqrt{3}\,i+1}{2}$, $-1$, $\sqrt{3}\,i-1$, $-\sqrt{3}\,i-1$, $2$
8. 1373. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^8+15x^4-16=0$
Ответ: $\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i$, $\sqrt{2}\,i+\sqrt{2}$, $\pm i$, $\pm1$
9. 1374. Число $1+i$ является корнем уравнения $x^4-8x^3+27x^2-38x+26=0$. Найти три другие корня.
Ответ: $1-i$, $3\pm2i$
10. 1375. Число $1+i$ является корнем уравнения $x^4-10x^3+35x^2-50x+34=0$. Найти три другие корня.
Ответ: $1-i$, $4\pm i$
11. 1384. Найти комплексные корни уравнения $x^2-10x+29=0$.
Ответ: $5\pm2i$
12. 1385. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^3-3x^2+4x-12=0$.
Ответ: $3;\pm2i$
13. 1386. Число $3-i$ является корнем многочлена $x^4-8x^3+27x^2-50x+50$. Найти три других комплексных корня.
Ответ: $3+i;1\pm2i$
14. 1387. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^6-19x^3-216=0$.
Ответ: $x=1-\sqrt{3}\,i,x=\sqrt{3}\,i+1,x=-2,x=\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i-3}{2},x=-\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i+3}{2},x=3$
15. 1388. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^3-7x^2+31x-25=0$.
Ответ: 1, $3\pm4i$
16. 1389. Найти комплексные корни уравнения $x^2-8x+20=0$.
Ответ: $4\pm2i$
17. 1390. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^3-2x^2+16x-32=0$.
Ответ: $2;\pm4i$
18. 1391. Число $2+i$ является корнем многочлена $x^4-10x^3+63x^2-166x+170$. Найти три других комплексных корня.
Ответ: $2-i;3\pm5i$
19. 1392. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^6+19x^3-216=0$.
Ответ: $x=\sqrt{3}\,i-1,x=-\sqrt{3}\,i-1,x=2,x=-\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i-3}{2},x=\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i+3}{2},x=-3$
20. 1393. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^3-9x^2+24x+34=0$.
Ответ: $-1$, $5\pm3i$
21. 1446. Решить уравнение на множестве $\mathbb{C}$: $z^6-4z^3+8=0$.
Решение. Замена $t=z^3$: $t^2-4t+8=0$, корни $t=2\pm2i=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\pm i\sin\frac{\pi}{4}\right)$. Осталось решить уравнения $\displaystyle z^3=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ и $\displaystyle z^3=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)$. Выпишем корни уравнений сначала в тригонометрической, затем в алгебраической формах:
$z_1=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)$
$z_2=\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=i-1$
$z_3=\sqrt2\left(\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}-i\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)$
$z_4=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}-i\sin\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}+i\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\right)$
$z_5=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}+i\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)$
$z_5=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)=-1-i$.