1. 1. Решить уравнение: $\cos 2x+\cos x=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $x=\pi+2\pi k$, $n, k\in\mathbb{Z}$.
2. 2. Решить уравнение: $\cos 2x+3\cos x+2=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $x=\pi+2\pi k$
3. 3. Решить уравнение: $\cos 2x-\cos x=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi k$
4. 4. Решить уравнение: $\cos 2x-3\cos x+2=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi k$
5. 5. Решить уравнение: $\cos 2x+3\sin x-2=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$, $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$
6. 6. Решить уравнение: $\cos 2x+\sin x=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n$, $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$
7. 7. Решить уравнение: $\cos 2x-3\sin x-2=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n$, $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$
8. 8. Решить уравнение: $\cos 2x-\sin x=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$, $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$
9. 1583. Решить уравнение: $6\sin^2 x-5\cos x-5=0$.
Ответ: $\pi+2\pi n$, $\displaystyle\pm\arccos16+2\pi m$, $n,~m\in\mathbb{Z}$
10. 1584. Решить уравнение: $\sin x-2\cos 2x=1$.
Ответ: $\displaystyle-\frac{\pi}{2}+2\pi n$, $\displaystyle(-1)^m\arcsin\frac34+\pi m$, $n,~m\in\mathbb{Z}$
11. 1585. Решить уравнение: $3+5\sin 2x=\cos 4x$.
Ответ: $\displaystyle(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}n$, $n\in\mathbb{Z}$
12. 1586. Решить уравнение: $\displaystyle \cos x-2\sin^2\frac{x}{2}=0$.
Ответ: $\displaystyle\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$
13. 1587. Решить уравнение: $2\cos 2x+(2\sqrt3-2)\sin x+\sqrt{3}-2=0$.
Решение. Воспользовавшись соотношением $\cos 2x=1-2\sin^2 x$, сведем данное уравнение к квадратному (относительно $\sin x$) уравнению:
$$4\sin^2x+(2-2\sqrt3)\sin x-\sqrt3=0.$$
Его дискриминант равен $(2-2\sqrt3)^2-4\cdot4\cdot(-\sqrt3)=16+8\sqrt3=2^2+2\cdot2\cdot2\sqrt3+(2\sqrt3)^2=(2+2\sqrt3)^2$.
$$\displaystyle \sin x=\frac{2\sqrt3-2\pm(2+2\sqrt3)}{8}.$$
Осталось решить уравнения $\displaystyle\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$ и $\displaystyle\sin x=-\frac{1}{2}$. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$, $(-1)^{m+1}\frac{\pi}{6}+\pi m$, $n,~m\in\mathbb{Z}$
14. 1588. Решить уравнение: $2\cos2x-(2\sqrt3+2)\cos x+\sqrt3+2=0$.
Ответ: $\displaystyle\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $\displaystyle\pm\frac{\pi}{6}+2\pi m$, $n,~m\in\mathbb{Z}$
15. 1589. Решить уравнение: $\displaystyle\frac{\cos2x+\sin x}{12x^2-8\pi x+\pi^2}=0$.
Ответ: $\displaystyle\frac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$; $\displaystyle(-1)^{m+1}\frac{\pi}{6}+\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$