1. 2627. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Проекции катетов на гипотенузу равны $\displaystyle AH=\frac{32}{3}$ и $\displaystyle BH=6$. Найти: а) площадь треугольника $ABC$; б) косинус угла $B$.

Ответ: $S=200/3$; $\cos\angle B=3/5$.

2. 2628. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Проекции катетов на гипотенузу равны $\displaystyle AH=16$ и $\displaystyle BH=9$. Найти: а) площадь треугольника $ABC$; б) косинус угла $B$.

Ответ: $S=150$; $\cos\angle B=3/5$.

3. 2629. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Проекции катетов на гипотенузу равны $\displaystyle AH=32$ и $\displaystyle BH=18$. Найти: а) площадь треугольника $ABC$; б) косинус угла $B$.

Ответ: $S=300$; $\cos\angle B=3/5$.

4. 2630. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Проекции катетов на гипотенузу равны $\displaystyle AH=\frac{9}{2}$ и $\displaystyle BH=8$. Найти: а) площадь треугольника $ABC$; б) косинус угла $B$.

Ответ: $S=75$; $\cos\angle B=4/5$.

5. 2631. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Проекции катетов на гипотенузу равны $\displaystyle AH=\frac{27}{4}$ и $\displaystyle BH=12$. Найти: а) площадь треугольника $ABC$; б) косинус угла $B$.

Ответ: $S=225/2$; $\cos\angle B=4/5$.

6. 2632. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Проекции катетов на гипотенузу равны $\displaystyle AH=\frac{18}{5}$ и $\displaystyle BH=\frac{32}{5}$. Найти: а) площадь треугольника $ABC$; б) косинус угла $B$.

Ответ: $S=60$; $\cos\angle B=4/5$.

7. 2633. Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=10$, а один из острых углов равен $\alpha=15^{\circ}$.

Ответ: $h=5$; $S=50$

8. 2634. Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=10\sqrt3$, а один из острых углов равен $\alpha=30^{\circ}$.

Ответ: $h=15$; $S=150\sqrt3$

9. 2635. Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=10$, а один из острых углов равен $\alpha=60^{\circ}$.

Ответ: $h=5\sqrt3$; $S=50\sqrt3$

10. 2636. Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=8$, а один из острых углов равен $\alpha=15^{\circ}$.

Ответ: $h=4$; $S=32$

11. 2637. Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=12$, а один из острых углов равен $\alpha=75^{\circ}$.

Ответ: $h=6$; $S=72$

12. 2638. Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=10$, а один из острых углов равен $\alpha=22^{\circ}\,30'$.

Ответ: $h=5\sqrt2$; $S=50\sqrt2$

13. 2639. Найти а) высоту $h$, проведённую к гипотенузе, и б) площадь $S$ прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R=20\sqrt2$, а один из острых углов равен $\alpha=67^{\circ}\,30'$.

Ответ: $h=20$; $S=400\sqrt2$

14. 2640. В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на 2 больше стороны $AB$, а периметр равен 56, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.

Ответ: $\displaystyle MK=\frac{14}{5}$

15. 2641. В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на 5 больше стороны $AB$, а периметр равен 60, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.

Ответ: $\displaystyle MK=3\sqrt5$

16. 2642. В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на 7 больше стороны $AB$, а периметр равен 92, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.

Ответ: $\displaystyle MK=\frac{161}{17}$

17. 2643. В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на 7 больше стороны $AB$, а периметр равен 68, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.

Ответ: $\displaystyle MK=\frac{119}{13}$

18. 2644. В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на 17 больше стороны $AB$, а периметр равен 124, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.

Ответ: $\displaystyle MK=\frac{527}{25}$

19. 2645. В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на $3\sqrt5$ больше стороны $AB$, а периметр равен $36\sqrt5$, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.

Ответ: $\displaystyle MK=9$

20. 2646. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=12$, $\angle ABC=30^{\circ}$.

Ответ: $HM=3$.

21. 2647. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=12$, $\angle ABC=15^{\circ}$.

Ответ: $HM=3\sqrt3$.

22. 2648. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=8\sqrt3$, $\angle ABC=75^{\circ}$.

Ответ: $HM=6$.

23. 2649. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=14$, $\angle ABC=60^{\circ}$.

Ответ: $HM=7$.

24. 2650. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=8\sqrt2$, $\angle ABC=22{,}5^{\circ}$.

Ответ: $HM=4$.

25. 2651. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=12\sqrt2$, $\angle ABC=67{,}5^{\circ}$.

Ответ: $HM=6$.

26. 2652. Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 36 и 16. Найти хорду $AB$.

Ответ: $AB=48$

27. 2653. Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 8 и 12. Найти хорду $AB$.

Ответ: $AB=8\sqrt6$

28. 2654. Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 16 и 9. Найти хорду $AB$.

Ответ: $AB=24$

29. 2655. Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 12 и 9. Найти хорду $AB$.

Ответ: $AB=12\sqrt3$

30. 2656. Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 18 и 16. Найти хорду $AB$.

Ответ: $AB=24\sqrt2$