2842. Имеются две урны: в первой 7 белых и 5 чёрных шаров, во второй — 10 белых и 3 чёрных. Из первой урны во вторую перекладывают (не глядя) один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Ответ: $127/168\approx0{,}76$

2843. Из чисел $1,~2,~\ldots,~n$ одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше $m$ ($m>0$).

Ответ: $\displaystyle\frac{(n-m)(n-m+1)}{2n(n-1)}$

2844. В классе из 25 человек шестеро отличников, 15 хорошо успевающих (хорошисты) и четверо, успевающих слабо (троечники). На предстоящей контрольной отличники получат только «пятёрки», хорошисты — с равной вероятностью могут получить отличные или хорошие отметки, а троечники могут с равной вероятностью получить хорошие, удовлетворительные или неудовлетворительные отметки. Найти вероятность того, что работа наугад выбранного школьника окажется написанной на хорошую или отличную отметку.

Ответ: $67/75$

2845. Три орудия производят стрельбу по трём целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью $p$. Найти вероятность того, что из трёх целей две будет поражены, а третья нет.

Ответ: $\displaystyle 2p^2\left(1-\frac{2}{3}p\right)$

2846. Имеются три урны: в первой 5 белых и 3 чёрных шара, во второй 7 белых и 5 черных, в третьей 4 белых и ни одного черного. Некто выбирает наугад урну, а затем вынимает из неё шар. Этот шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар был вынут из второй урны?

Ответ: $14/53$

3047. В классе 10 отличников, 15 «хорошистов» и 5 троечников. На экзамене отличники могут получить только «5», «хорошисты» — «4» либо «5» (с равной вероятностью), троечники могут с равной вероятностью получить отметки «4», «3» либо «2» (с равной вероятностью). Для сдачи экзамена наугад вызывается один школьник. Найти вероятность того, что он получит отметку «5».

3048. Подводная лодка выпустила три торпеды. Вероятность попадания первым выстрелом равна $0{,}4$, вторым $0{,}5$, третьим $0{,}7$. Одним попаданием корабль можно потопить с вероятностью $0{,}2$, двумя попаданиями — с вероятностью $0{,}6$, тремя попаданиями — наверняка. Найти вероятность того, что корабль будет потоплен.

3049. В первом вольере 8 черных и 2 белых кролика, во втором — 7 белых и 3 черных. Кролик из первого вольера прогрыз дырку в стенке между вольерами и перешел во второй вольер. Дырку заделали, и после этого белого кролика из второго вольера отобрали для выставки. Какова вероятность того, что отобранный кролик — тот самый, который перебегал из одного вольера в другой?

3176. Четверть автомобилей компании Kia Motors на российском рынке производится в Калининграде, ещё четверть — в словацком городе Жилина, а все остальные — на корейских заводах. Вероятность того, что в течение первого года эксплуатации автомобиль марки KIA, изготовленный в России, потребует ремонта, равна $0{,}7$; изготовленный в Словакии — $0{,}2$; изготовленный в Корее — $0{,}1$. Найти среднюю надёжность автомобиля KIA (то есть вероятность того, что ему в течение первого года не потребуется ремонт).

Ответ: $29/40=0{,}725$.

3177. Ежегодно в десятках стран фиксируются случаи заболевания бубонной чумой. При этом в Африке ($60\,\%$ всех случаев заболеваний в мире) для лечения применяют снадобье из мелко изрубленных змей, которое помогает в пяти случаях из ста. В Азии ($30\,\%$ всех случаев заболеваний) используют прижигание чумных бубонов и вакцину Покровской, что позволяет спасти половину заболевших. В России, на которую приходится $10\,\%$ ежегодных заболеваний, используют стрептомицин, благодаря чему выздоравливают 9 пациентов из 10. Найти среднемировую вероятность смерти от бубонной чумы.

Ответ: $0{,}73$.

3178. На предстоящих демократических выборах президента России по результатам соцопросов за кандидата Кутина готовы проголосовать $90\,\%$ пенсионеров, $40\,\%$ студентов и $60\,\%$ остального населения. Какой процент голосов наберёт Кутин, если пенсионеров в России $30\,\%$, а студентов — $5\,\%$?

Ответ: $68\,\%$

3179. Двое из пяти шестикурсников Хогвартса выбирают зельеварение в качестве спецкурса. Чтобы продолжить изучение зельеварения на шестом курсе в группе профессора Снегга необходимо сдать экзамен СОВ на оценку «превосходно», а в группе профессора Слизнорта на «превосходно» или «выше ожидаемого». СОВ по зельеварению сдают все пятикурсники, и результаты экзамена подчиняются следующей статистике: «превосходно» — $5\,\%$, «выше ожидаемого» — $10\,\%$, «удовлетворительно» — $30\,\%$, «слабо» — $40\,\%$, «отвратительно» — остальные $15\,\%$. Найти вероятность того, что случайно выбранный шестикурсник изучает зельеварение а) у Снегга; б) у Слизнорта.

Ответ: а) $0{,}02$; б) $0{,}06$.

«Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru