1. 2851. Построить график функции: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+8x^2+19x+12}{x+4}$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
Ответ: Парабола $y=x^2+4x+3$ с выколотой точкой $(-4;~3)$.
а) при $a=-1$ и при $a=3$;
б) при $a < -1$.
2. 2852. Построить график функции: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+6x^2+5x-12}{x+4}$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
Ответ: Парабола $y=x^2+2x-3$ с выколотой точкой $(-4;~5)$.
а) при $a=-4$ и при $a=5$;
б) при $a < -4$.
3. 2853. Построить график функции: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+7x^2+16x+10}{x+1}$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
Ответ: Парабола $y=x^2+6x+10$ с выколотой точкой $(-1;~5)$.
а) при $a=1$ и при $a=5$;
б) при $a < 1$.
4. 2854. Построить график функции: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-4x^2+5x-2}{x-2}$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$
а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней.
Ответ: Парабола $y=(x-1)^2$ с выколотой точкой $(2;~1)$.
а) при $a=0$ и при $a=1$;
б) при $a < 0$.
5. 2863. Построить график функции $$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+4x+3, x\leqslant-1; \\
&-x^2+2x+3, x > -1. \\
\end{aligned}\right.$$
Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет ровно три различных корня.
Ответ: $-1 < a < 4$.
6. 2864. Построить график функции $$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+2x-3, x\leqslant2; \\
&-x^2+6x-3, x > 2. \\
\end{aligned}\right.$$
Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет ровно три различных корня.
Ответ: $-4 < a < 6$
7. 2865. Построить график функции $$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+8x+12, x\leqslant-2; \\
&-x^2-2x, x > -2. \\
\end{aligned}\right.$$
Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет ровно три различных корня.
Ответ: $-4 < a < 1$
8. 2866. Построить график функции $$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2-2x-1, x\leqslant2; \\
&-(x-3)^2, x > 2. \\
\end{aligned}\right.$$
Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x)=a$ имеет ровно три различных корня.
Ответ: $-2 < a < 0$
9. 3493. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+8x+12,\quad\text{если }x\leqslant-1;\\
&|x-2|+2,\quad\text{если }x > -1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.
Ответ: $2 < a < 5$
10. 3494. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&|x+1|-2,\quad\text{если }x\leqslant3;\\
&x^2-8x+17,\quad\text{если }x>3.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.
Ответ: $1 < a < 2$
11. 3495. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&|x+1|-3,\quad\text{если }x\leqslant1;\\
&x^2-6x+4,\quad\text{если }x>1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.
Ответ: $-3 < a < -1$
12. 3496. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&|x+2|-1,\quad\text{если }x\leqslant2;\\
&-x^2+6x-5,\quad\text{если }x>2.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно три общие точки.
Ответ: $-1 < a < 3$
13. 3497. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&-|x+3|+6,\quad\text{если }x\leqslant-2;\\
&x^2-2x-3,\quad\text{если }x>-2.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно три общие точки.
Ответ: $-4 < a < 5$
14. 3498. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+4x+5,\quad\text{если }x\leqslant-1;\\
&-|x-1|+4,\quad\text{если }x>-1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно три общие точки.
Ответ: $1 < a < 2$
15. 3499. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+4x+3,\quad\text{если }x\leqslant1;\\
&|x-4|+5,\quad\text{если }x>1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.
Ответ: $5 < a < 8$
16. 3500. Построить график функции:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
&x^2+2x-1,\quad\text{если~}x\leqslant1;\\
&|x-6|-3,\quad\text{если~}x>1.
\end{aligned}\right.$$ Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно четыре общие точки.
Ответ: $-2 < a < 2$
17. 3575. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2-7x+10|=a(x-1)$ имеет ровно два корня.
Ответ: $a=0$; $a>1$.
18. 4028. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x+a|=\sqrt{4x+4-x^2}$ имеет два корня.
Решение. Графиком функции $y=|x+a|$ является известная «галочка», вершина которой находится в точке $(-a,~0)$. Это означает, что при увеличении $a$ галочка двигается вдоль оси абсцисс влево, при уменьшении ― вправо. Графиком функции $y=\sqrt{4x+4-x^2}=\sqrt{8-(x-2)^2}$ является окружность с центром в точке $(2,~0)$ и радиусом $2\sqrt2$. Уравнение будет иметь один корень, если «галочка» касается окружности: это обеспечивается при $a=-6$ (точка касания ― $(4,~2)$) и при $a=2$ (точка касания ― $(0,~2)$). Сделайте чертеж и закончите решение самостоятельно.
Ответ: $a\in(-6,~2)$