1. 300. Написать уравнения касательных к параболе $y=x^2-4x+3$, проходящих через точку $(0,~2)$
Ответ: $y=2-2x$, $y=2-6x$
2. 301. Написать уравнения касательных к параболе $y=x^2+2x-3$, проходящих через точку $(-2,~-7)$
Ответ: $y=-6x-19$, $y=2x-3$
3. 302. Написать уравнения касательных к параболе $\displaystyle y=\frac12(x^2-2x-3)$, проходящих через точку $(2,~-14)$
Ответ: $y=-4x-6$, $y=6x-26$
4. 303. Написать уравнения касательных к параболе $y=2x^2-4x-6$, проходящих через точку $(1,~-16)$
Ответ: $y=-8x-8$, $y=8x-24$
5. 304. Написать уравнения касательных к параболе $y=x^2-4x+3$, проходящих через точку $(1,~-4)$
Ответ: $y=-6+2x$, $y=2-6x$
6. 305. Написать уравнения касательных к параболе $y=x^2+2x-3$, проходящих через точку $(-3,~-1)$
Ответ: $y=-6x-19$, $y=-2x-7$
7. 306. Написать уравнения касательных к параболе $\displaystyle y=\frac12(x^2-2x-3)$, проходящих через точку $(0,~-6)$
Ответ: $y=-4x-6$, $y=2x-6$}
8. 307. Написать уравнения касательных к параболе $y=2x^2-4x-6$, проходящих через точку $(2,~-14)$
Ответ: $y=-4x-6$, $y=12x-38$
9. 308. Написать уравнения касательных к параболе $y=x^2-4x+3$, проходящих через точку $(2,~-5)$
Ответ: $y=3-4x$, $y=4x-13$
10. 309. Написать уравнения касательных к параболе $y=x^2+2x-3$, проходящих через точку $(0,~-7)$
Ответ: $y=6x-7$, $y=-2x-7$
11. 310. Написать уравнения касательных к параболе $\displaystyle y=\frac12(x^2-2x-3)$, проходящих через точку $(2,~-6)$
Ответ: $y=-2x-2$, $y=4x-14$
12. 311. Написать уравнения касательных к параболе $y=2x^2-4x-6$, проходящих через точку $(3,~-2)$.
Ответ: $y=4x-14$, $y=12x-38$
13. 352. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $y=\sqrt{|x|}$.
Ответ: $(0;~1/4)$
14. 353. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $\displaystyle y=1+x^2/2$.
Ответ: $(0;~1/2)$
15. 354. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $\displaystyle y=|x|^3$.
Ответ: $(0;~-2/(3\sqrt{3}))$
16. 355. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $y=\cos x$.
Ответ: $(0;~\pi/2)$
17. 356. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(3;~4{,}5)$ до линии $xy=1$.
Ответ: $\sqrt{17}$
18. 357. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2-2x-3$, точка $N$ — на прямой $x-y=7$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$.
Ответ: $M(3/2,-15/4)$, $N(19/8, -37/8)$, $MN=7/(4\sqrt2)$
19. 358. На графике функции $y=x^3-2x^2+5$ найти точку, касательная в которой отсекает от координатных осей отрезки равной длины.
Ответ: $(1; 4)$
20. 359. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(2;~10)$ до линии $y=\sqrt{x}$.
Ответ: $2\sqrt{17}$
21. 360. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2-2x-3$, точка $N$ — на линии $x^2+y^2-10x+10y+46=0$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$. Ответ округлите до сотых. Замечание. Действительный корень многочлена $2x^3-6x^2+9x-9$ примерно равен $x_0 \approx 1{,}8796$.}
Ответ: $\sqrt{x_0^4-4x_0^3+9x_0^2-18x_0+29}-2\approx1{,}5892$
22. 361. Написать уравнения трёх параллельных касательных к графику функции $y=2x^6-15x^4+24x^2$.
Ответ: $y=-16$, $y=11$, $y=0$
23. 362. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(2;~2{,}5)$ до линии $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$.
Ответ: $\sqrt{5}$
24. 363. Точка $M$ лежит на линии $y=\sqrt{x}$, точка $N$ — на прямой $y-x=2$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$.
Ответ: $M(1/4, 1/2)$, $N(-5/8, 11/8)$, $MN=7/(4\sqrt{2})$
25. 364. К параболе $y=x^2$ проведены касательные в точках $A$ и $B$, пересекающиеся в точке $C$. Треугольник $ABC$ — равносторонний. Найти координаты точки $C$.
Ответ: $C(0, -3/4)$
26. 365. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2$, точка $N$ — на линии $x^2+y^2-10x-2y+22=0$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$. Ответ округлите до сотых. Действительный корень многочлена $2x^3-x-5$ примерно равен $x_0 \approx 1{,}4797$.
Ответ: $\sqrt{x_0^4-x_0^2-10x_0+26}-2\approx1{,}7158$
27. 754. Написать уравнения касательных к графику функции $y=2x^3-15x^2+18x$, параллельных прямой $y=5-6x$.
Ответ: $y=11-6x$, $y=-6x-16$
28. 755. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x^3-3x^2-12x$, параллельных прямой $y=2-3x$.
Ответ: $y=5-3x$, $y=-3x-27$.
29. 756. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x^3-9x^2+18x$, параллельных прямой $y=3x-1$.
Ответ: $y=3x+7$, $y=3x-25$.
30. 757. Написать уравнения касательных к графику функции $y=2x^3-9x^2-18x$, параллельных прямой $y=6x+10$.
Ответ: $y=6x+13$, $y=6x-112$.