1. 3153. Доказать, что $4x^2+y^2-12x+2y+15 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.
Решение. Указание. Левая часть неравенства приводится к виду $(2x-3)^2+(y+1)^2+5$.
Ответ: При $x=3/2$ и $y=-1$.
2. 3154. Доказать, что $9x^2+y^2-12x-8y+25 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.
Решение. Указание. Левая часть неравенства приводится к виду $(3x-2)^2+(y-4)^2+5$.
Ответ: При $x=2/3$ и $y=4$.
3. 3155. Доказать, что $4x^2+y^2-4x+8y+22 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.
Решение. Указание. Левая часть неравенства приводится к виду $(2x-1)^2+(y+4)^2+5$.
Ответ: При $x=1/2$ и $y=-4$.
4. 3156. Доказать, что $25x^2+y^2-20x-10y+34 \geqslant 5$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.
Решение. Указание. Левая часть неравенства приводится к виду $(5x-2)^2+(y-5)^2+5$.
Ответ: При $x=2/5$ и $y=5$.
5. 3157. Доказать, что $\displaystyle x^2+\frac{9}{x^2} \geqslant 6 \quad \forall x \neq 0$. Указать, при каких $x$ достигается равенство.
Решение. Указание. Неравенство приводится к виду $\displaystyle\frac{(x^2-3)^2}{x^2} \geqslant 0$.
Ответ: При $x=\pm\sqrt3$.
6. 3158. Доказать, что $\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2} \geqslant 4 \quad \forall x \neq 0$. Указать, при каких $x$ достигается равенство.
Решение. Указание. Неравенство приводится к виду $\displaystyle\frac{(x^2-2)^2}{x^2} \geqslant 0$.
Ответ: При $x=\pm\sqrt2$.
7. 3159. Доказать, что $\displaystyle \frac{3x+2}{x-1} > 3$ при $x > 1$.
8. 3160. Доказать, что $\displaystyle \frac{5x+2}{x-1} > 5$ при $x > 1$.
9. 3161. Доказать, что $\displaystyle \frac{3x+2}{x-1} < 3$ при $x < 1$.
10. 3162. Доказать, что $\displaystyle \frac{5x+2}{x-1} < 5$ при $x < 1$.
11. 3163. а) Доказать, что $|x-2|+|x+3| \geqslant 5 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-2|+|x+3|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.
12. 3164. а) Доказать, что $|x-1|+|x+2| \geqslant 3 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-1|+|x+2|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.
13. 3165. а) Доказать, что $|x-2|+|x+1| \geqslant 3 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-2|+|x+1|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.
14. 3166. а) Доказать, что $|x-2|+|x-3| \geqslant 1 \quad \forall x$.
б) Построить график функции $y=|x-2|+|x-3|$.
в) Указать, при каких $x$ в неравенстве из п. а) достигается равенство.
15. 3167. Доказать, что $\displaystyle a^2+b^2 \geqslant \frac12$ для всех $a$ и $b$ таких, что $a+b=1$. Указать, при каких $a$ и $b$ достигается равенство.
16. 3168. Доказать, что $\displaystyle a^2+b^2 \geqslant \frac92$ для всех $a$ и $b$ таких, что $a+b=3$. Указать, при каких $a$ и $b$ достигается равенство.
17. 3169. Доказать, что $4y-25x^2-4y^2-30x-7 \leqslant 3$ для любых $x$ и $y$. Указать значения $x$ и $y$, при которых достигается равенство.
18. 3170. Доказать, что $x^2+y^2 \geqslant 9$ для всех $x$ и $y$ таких, что $3x+4y=15$. Указать $x$ и $y$, при которых достигается равенство.
19. 3171. Доказать, что $\displaystyle \frac{2-5x}{3x-6} < -\frac{5}{3}$ при $x > 2$.
20. 3172. Доказать, что $|x^2-1|+|x^2-4| \geqslant 3$. Указать $x$, при которых достигается равенство.
21. 4261. Доказать, что $\displaystyle \frac{ac^2+b}{c} \geqslant 2\sqrt{ab}$, если $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$, $c > 0$.
22. 4262. Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geqslant 9$.
23. 4263. Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle \frac{ad+bc}{bd}+\frac{bc+ad}{ac} \geqslant 4$.
24. 4264. Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geqslant 3$.
25. 4294. Указать условия на $a$ и $b$, при которых $a^3-2b^3+ab^2-2a^2b \geqslant 0$.
Ответ: $a \geqslant 2b$
26. 4295. Указать условия на $a$ и $b$, при которых $2ab^4-a^4b-b^5+2a^5 \leqslant 0$.
Ответ: $b \geqslant 2a$
27. 4296. Указать условия на $a$ и $b$, при которых $b^5+a^2b^3+a^3b^2+a^5 \geqslant 0$
Ответ: $a \geqslant -b$
28. 4297. Доказать неравенство: $\displaystyle \frac{2ab^2+4a^2b+b+2a}{2ab} \geqslant 4$ ($a > 0$, $b > 0$).
29. 4298. Доказать неравенство: $\displaystyle \frac{a^2b^6+a^4b^3+b^3+a^2}{a^2b^3} \geqslant 4$ ($a > 0$, $b > 0$).
30. 4299. Доказать неравенство: $(x^2+1)(y^2-2y+4) \geqslant 6x$ ($x > 0$).