1. 319. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-e^x}$
Ответ: $y=1$ (левая), $y=0$ (правая)
2. 320. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-1}{x-3}$
Ответ: $x=3$, $y=2x+5$
3. 321. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-3}{2x^2-8}$
Ответ: $x=\pm2$, $y=x/2$
4. 322. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{x+\ln(x^2-1)}{x-1}$
Ответ: $x=\pm1$, $y=1$
5. 323. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{e^x+x}{e^x-x}$
Ответ: $y=1$ (правосторонняя), $y=-1$ (левосторонняя)
6. 324. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{3-x^2-2x}\,dx$
Ответ: $\pi$
7. 325. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-2}^2\left||x|-1\right|\,dx$
Ответ: 2
8. 326. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^3\sqrt{7-x^2+6x}\,dx$
9. 327. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-2}^4\left|2-|x|\right|\,dx$
10. 328. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_1^4\frac{2\sqrt x+1}{2x(\sqrt x+1)}\,dx$
Ответ: $\ln 3$
11. 329. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_1^9\frac{dx}{2\sqrt x(x+ \sqrt x)}$
Ответ: $\displaystyle\ln\frac32$
12. 330. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_4^9\frac{2\sqrt x-1}{2\sqrt x(x- \sqrt x)}\,dx$
Ответ: $\ln3$
13. 331. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_{1/9}^{4/9}\frac{\sqrt x-3}{2(x-1)\sqrt x}\,dx$
Ответ: $\displaystyle\ln\frac{25}{8}$
14. 332. Применив замену $x=\sin t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{1/2}^{1/\sqrt2}\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
Ответ: $\displaystyle\frac{2-\sqrt3}{4}$
15. 333. Применив замену $x=\textrm{tg} t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{1/\sqrt3}^{\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}$
16. 334. Применив замену $x=\sin t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{-1/2}^{1/\sqrt2}\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3+2}{4}$
17. 335. Применив замену $x=\textrm{tg}\,t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{-\sqrt3}^{-1/\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}$
18. 336. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2+8x+13$ и $y=-x-1$. Сделать чертёж.
Ответ: $\displaystyle\frac{125}{6}$
19. 337. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2$ и $y=-x^2+4x+6$. Сделать чертёж
Ответ: $\displaystyle\frac{64}{3}$
20. 338. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2-4x+2$ и $y=2+2x$. Сделать чертёж.
21. 339. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2+2x$ и $y=4-x^2$. Сделать чертёж.
22. 340. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\textrm{tg}\,x$ ($-\pi/2 < x < \pi/2$) и прямой $\displaystyle y=\frac{4x}{\pi}$. Сделать чертеж.
23. 341. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2-x^2$, $\displaystyle y=\frac{1}{x^2}$ и прямой $y=4$. Сделать чертеж.
24. 342. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$ и параболой $\displaystyle y=\frac12x^2$. Сделать чертеж.
Ответ: $(3\pi-2)/6$
25. 343. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ и линией $\displaystyle y=\frac{|x|}{6\sqrt2}$. Сделать чертеж.
26. 344. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_1^x(2t+2)\,dt=12$
27. 345. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_2^x(2t-1)\,dt=4$
Ответ: $-2$, $3$
28. 346. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_{-2}^x(2t-5)\,dt=0$
29. 347. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_1^x(2t+7)\,dt=0$
30. 348. Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты.
Ответ: $x=d/\sqrt{3}$, $y=d\sqrt{2/3}$