1. 319. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-e^x}$

Ответ: $y=1$ (левая), $y=0$ (правая)

2. 320. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-1}{x-3}$

Ответ: $x=3$, $y=2x+5$

3. 321. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-3}{2x^2-8}$

Ответ: $x=\pm2$, $y=x/2$

4. 322. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{x+\ln(x^2-1)}{x-1}$

Ответ: $x=\pm1$, $y=1$

5. 323. Найти уравнения асимптот графика функции $\displaystyle f(x)=\frac{e^x+x}{e^x-x}$

Ответ: $y=1$ (правосторонняя), $y=-1$ (левосторонняя)

6. 324. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{3-x^2-2x}\,dx$

Ответ: $\pi$

7. 325. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-2}^2\left||x|-1\right|\,dx$

Ответ: 2

8. 326. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^3\sqrt{7-x^2+6x}\,dx$

9. 327. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, вычислить $\displaystyle\int_{-2}^4\left|2-|x|\right|\,dx$

10. 328. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_1^4\frac{2\sqrt x+1}{2x(\sqrt x+1)}\,dx$

Ответ: $\ln 3$

11. 329. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_1^9\frac{dx}{2\sqrt x(x+ \sqrt x)}$

Ответ: $\displaystyle\ln\frac32$

12. 330. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_4^9\frac{2\sqrt x-1}{2\sqrt x(x- \sqrt x)}\,dx$

Ответ: $\ln3$

13. 331. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_{1/9}^{4/9}\frac{\sqrt x-3}{2(x-1)\sqrt x}\,dx$

Ответ: $\displaystyle\ln\frac{25}{8}$

14. 332. Применив замену $x=\sin t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{1/2}^{1/\sqrt2}\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$

Ответ: $\displaystyle\frac{2-\sqrt3}{4}$

15. 333. Применив замену $x=\textrm{tg} t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{1/\sqrt3}^{\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$

Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}$

16. 334. Применив замену $x=\sin t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{-1/2}^{1/\sqrt2}\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$

Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3+2}{4}$

17. 335. Применив замену $x=\textrm{tg}\,t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{-\sqrt3}^{-1/\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$

Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}$

18. 336. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2+8x+13$ и $y=-x-1$. Сделать чертёж.

Ответ: $\displaystyle\frac{125}{6}$

19. 337. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2$ и $y=-x^2+4x+6$. Сделать чертёж

Ответ: $\displaystyle\frac{64}{3}$

20. 338. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2-4x+2$ и $y=2+2x$. Сделать чертёж.

21. 339. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2+2x$ и $y=4-x^2$. Сделать чертёж.

22. 340. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\textrm{tg}\,x$ ($-\pi/2 < x < \pi/2$) и прямой $\displaystyle y=\frac{4x}{\pi}$. Сделать чертеж.

23. 341. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2-x^2$, $\displaystyle y=\frac{1}{x^2}$ и прямой $y=4$. Сделать чертеж.

24. 342. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$ и параболой $\displaystyle y=\frac12x^2$. Сделать чертеж.

Ответ: $(3\pi-2)/6$

25. 343. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ и линией $\displaystyle y=\frac{|x|}{6\sqrt2}$. Сделать чертеж.

26. 344. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_1^x(2t+2)\,dt=12$

27. 345. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_2^x(2t-1)\,dt=4$

Ответ: $-2$, $3$

28. 346. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_{-2}^x(2t-5)\,dt=0$

29. 347. Решить (относительно $x$) уравнение $\displaystyle \int_1^x(2t+7)\,dt=0$

30. 348. Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты.

Ответ: $x=d/\sqrt{3}$, $y=d\sqrt{2/3}$