1. 349. Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на сжатие? Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади ее поперечного сечения.

Ответ: $x=y=d/\sqrt{2}$

2. 350. Лампа висит над центром круглого стола радиуса $r$. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

Ответ: $\displaystyle \frac{r\sqrt{2}}{2}$

3. 351. На прямолинейном отрезке длины $a$, соединяющем два источника света с интенсивностями $I_1$ и $I_2$, найти точку, освещаемую слабее всего. Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

Ответ: $\displaystyle a\frac{\sqrt[3]{I_1}}{\sqrt[3]{I_1}+\sqrt[3]{I_2}}$

4. 352. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $y=\sqrt{|x|}$.

Ответ: $(0;~1/4)$

5. 353. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $\displaystyle y=1+x^2/2$.

Ответ: $(0;~1/2)$

6. 354. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $\displaystyle y=|x|^3$.

Ответ: $(0;~-2/(3\sqrt{3}))$

7. 355. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $y=\cos x$.

Ответ: $(0;~\pi/2)$

8. 356. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(3;~4{,}5)$ до линии $xy=1$.

Ответ: $\sqrt{17}$

9. 357. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2-2x-3$, точка $N$ — на прямой $x-y=7$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$.

Ответ: $M(3/2,-15/4)$, $N(19/8, -37/8)$, $MN=7/(4\sqrt2)$

10. 358. На графике функции $y=x^3-2x^2+5$ найти точку, касательная в которой отсекает от координатных осей отрезки равной длины.

Ответ: $(1; 4)$

11. 359. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(2;~10)$ до линии $y=\sqrt{x}$.

Ответ: $2\sqrt{17}$

12. 360. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2-2x-3$, точка $N$ — на линии $x^2+y^2-10x+10y+46=0$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$. Ответ округлите до сотых. Замечание. Действительный корень многочлена $2x^3-6x^2+9x-9$ примерно равен $x_0 \approx 1{,}8796$.}

Ответ: $\sqrt{x_0^4-4x_0^3+9x_0^2-18x_0+29}-2\approx1{,}5892$

13. 361. Написать уравнения трёх параллельных касательных к графику функции $y=2x^6-15x^4+24x^2$.

Ответ: $y=-16$, $y=11$, $y=0$

14. 362. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(2;~2{,}5)$ до линии $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

15. 363. Точка $M$ лежит на линии $y=\sqrt{x}$, точка $N$ — на прямой $y-x=2$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$.

Ответ: $M(1/4, 1/2)$, $N(-5/8, 11/8)$, $MN=7/(4\sqrt{2})$

16. 364. К параболе $y=x^2$ проведены касательные в точках $A$ и $B$, пересекающиеся в точке $C$. Треугольник $ABC$ — равносторонний. Найти координаты точки $C$.

Ответ: $C(0, -3/4)$

17. 365. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2$, точка $N$ — на линии $x^2+y^2-10x-2y+22=0$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$. Ответ округлите до сотых. Действительный корень многочлена $2x^3-x-5$ примерно равен $x_0 \approx 1{,}4797$.

Ответ: $\sqrt{x_0^4-x_0^2-10x_0+26}-2\approx1{,}7158$

18. 438. Исследовать функцию $y=(2-x)(x^2-x-2)$ и построить её график.

19. 439. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18x^2(x+6)$ и построить её график.

20. 440. Исследовать функцию $y=\displaystyle 9x-6x^2+x^3$ и построить её график.

21. 441. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18(x-8)(x-2)^2$ и построить её график.

22. 442. Исследовать функцию $y=\displaystyle (x+1)(x^2+5x+4)$ и построить её график.

23. 443. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18(x-4)(x^2-2x-8)$ и построить её график.

24. 444. Исследовать функцию $y=\displaystyle (x-1)(x+2)^2$ и построить её график.

25. 445. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18 (x+2)(8x-x^2-16)$ и построить её график.

26. 446. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac14 (x-6)(x^2-3x+6)$ и построить её график.

27. 447. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18 (x^3-12x^2+36x)$ и построить её график.

28. 448. Исследовать функцию $y=\displaystyle (x+2)(x-1)^2$ и построить её график.

29. 449. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18 (x+2)^2(x+8)$ и построить её график.

30. 450. Исследовать функцию $y=\displaystyle x^3+3x^2$ и построить её график.