1. 3588. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $$(32-2a)x^2+(2a-8)x+1 > 0$$ выполняется при любом $x\in\mathbb{R}$.

Ответ: $-2 < a < 8$

2. 3589. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $$(5-6a)x^2+(4a-4)x+4 > 0$$ выполняется при любом $x\in\mathbb{R}$.

Ответ: $-5 < a < 5/6$

3. 3663. Дано неравенство: $4(7-a)x^2-(8a+4)x+1 < 0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых
а) неравенство не имеет решений;
б) решением неравенства является интервал.

Ответ: а) $a\in(-2;~3/4)$; б) $a\in(-\infty;~-2)\cup (3/4;~7)$

4. 3670. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых решением неравенства $$(a+6)x^2-(a+3)x+1 < 0$$ является интервал.

Ответ: $a\in(-6;~-5)\cup(3;~+\infty)$

5. 3671. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых решением неравенства $$(2a-1)x^2+(a+1)x+1 > 0$$ является любое число.

Ответ: $a\in(1;~5)$

6. 3719. Дано неравенство: $(13-3a)x^2-(4a+6)x+1 < 0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых
а) неравенство не имеет решений;
б) решением неравенства является интервал.

Ответ: а) $\displaystyle \left[-4;~\frac14\right]$; б) $\displaystyle (-\infty;~-4)\cup\left(\frac14;~\frac{13}{3}\right)$

7. 3720. Дано неравенство: $(5a+6)x^2-(6a-4)x+1 < 0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых
а) неравенство не имеет решений;
б) решением неравенства является интервал.

Ответ: а) $\displaystyle \left[-\frac19;~2\right]$; б) $\displaystyle \left(-\frac65;~-\frac19\right)\cup\left(2;~+\infty\right)$

8. 3721. Дано неравенство: $(a+1)x^2-(2a-1)x+2 < 0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых
а) неравенство не имеет решений;
б) решением неравенства является интервал.

Ответ: а) $\displaystyle \left[-\frac12;~\frac72\right]$; б) $\displaystyle \left(-1;~-\frac12\right)\cup\left(\frac72;~+\infty\right)$

9. 3722. Дано неравенство: $(5-3a)x^2-(6a+2)x+1 < 0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых
а) неравенство не имеет решений;
б) решением неравенства является интервал.

Ответ: а) $\displaystyle \left[-\frac43;~\frac13\right]$; б) $\displaystyle \left(-\infty;~-\frac43\right)\cup\left(\frac13;~\frac{5}{3}\right)$

10. 3723. Дано неравенство: $(a+2)x^2-(2a+1)x+2 < 0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых
а) неравенство не имеет решений;
б) решением неравенства является интервал.

Ответ: а) $\displaystyle \left[-\frac32;~\frac52\right]$; б) $\displaystyle \left(-2;~-\frac32\right)\cup\left(\frac52;~+\infty\right)$

11. 3724. Дано неравенство: $(29-5a)x^2-(6a+10)x+1 < 0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых
а) неравенство не имеет решений;
б) решением неравенства является интервал.

Ответ: а) $\displaystyle \left[-4;~\frac19\right]$; б) $\displaystyle (-\infty;~-4)\cup\left(\frac19;~\frac{29}{5}\right)$

12. 3941. Найти наименьшую сумму квадратов целых чисел, являющихся решением неравенства $$ax^2+5ax-4x-20<0.$$ При каких $a$ достигается эта сумма?

Ответ: $30$; при $a\geqslant 4$

13. 3946. Найти все значения параметра $a$, при которых сумма натуральных чисел, являющихся решениями неравенства $$x^3-(a+3)x^2+(3a-4)x+4a\leqslant 0,$$ не меньше 10.

Ответ: $a\in(-\infty,~1]\cup[6,~+\infty)$

14. 3947. Для каждого $a$ решить неравенство $x^3-(2a+3)x^2+(6a+2)x-4a\geqslant0$.

Ответ: При $a < 0{,}5$ $x\in[2a,~1]\cup[2,~+\infty)$; при $a=0{,}5$ $x\in\{1\}\cup[2,~+\infty)$; при $0{,}5 < a < 1$ $x\in[1,~2a]\cup[2,~\infty)$; при $a=1$ $x\in[1,~+\infty)$; при $a > 1$ $x\in[1,~2]\cup[2a,+\infty)$

15. 4023. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенству $x^2-a^2x+2x-2a^2\leqslant 0$ удовлетворяет не менее шести целых чисел.

Ответ: $|a|\geqslant\sqrt3$

16. 4024. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенству $x^2-a^2x+3x-3a^2\leqslant 0$ удовлетворяет не менее девяти целых чисел.

Ответ: $|a|\geqslant\sqrt5$