1. 3987. В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=\sqrt{73}$, $BC=4\sqrt{5}$ и высота $BH=8$. Найти две другие высоты треугольника.

Ответ: $\displaystyle \frac{56\sqrt{73}}{73}$; $\displaystyle\frac{14\sqrt{5}}{5}$

2. 3988. В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=3\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{13}$ и высота $BH=6$. Найти две другие высоты треугольника.

Ответ: $\displaystyle \frac{14\sqrt{5}}{5}$; $\displaystyle\frac{21\sqrt{13}}{13}$

3. 3989. В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=4\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{17}$ и высота $BH=8$. Найти две другие высоты треугольника.

Ответ: $\displaystyle \frac{12\sqrt{5}}{5}$; $\displaystyle\frac{24\sqrt{17}}{17}$

4. 3990. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=BC=4\sqrt{5}$ и $AC=8$ на высоте $BH$ взята точка $O$ так, что $AO=OB=OC$. Найти $OH$.

Ответ: $3$.

5. 3991. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=BC=5\sqrt{26}$ и $AC=10$ на высоте $BH$ взята точка $O$ так, что $AO=OB=OC$. Найти $OH$.

Ответ: $12$.

6. 3992. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=BC=6\sqrt{10}$ и $AC=12$ на высоте $BH$ взята точка $O$ так, что $AO=OB=OC$. Найти $OH$.

Ответ: $8$.

7. 3993. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=BC=8\sqrt{5}$ и $AC=16$ на высоте $BH$ взята точка $O$ так, что $AO=OB=OC$. Найти $OH$.

Ответ: $6$.

8. 3994. На стороне $AC=15$ треугольника $ABC$ лежит центр $O$ окружности, касающейся сторон $AB=13$ и $BC=14$.
а) Найти радиус этой окружности.
б) Доказать, что $AO:OC=AB:BC$.
в) Найти $OB$.

Ответ: а) $\displaystyle \frac{56}{9}$; в) $\displaystyle \frac{28\sqrt{13}}{9}$

9. 3995. На стороне $AC=20$ треугольника $ABC$ лежит центр $O$ окружности, касающейся сторон $AB=15$ и $BC=7$.
а) Найти радиус этой окружности.
б) Доказать, что $AO:OC=AB:BC$.
в) Найти $OB$.

Ответ: а) $\displaystyle \frac{42}{11}$; в) $\displaystyle \frac{21\sqrt{5}}{11}$

10. 3996. На стороне $AC=20$ треугольника $ABC$ лежит центр $O$ окружности, касающейся сторон $AB=13$ и $BC=11$.
а) Найти радиус этой окружности.
б) Доказать, что $AO:OC=AB:BC$.
в) Найти $OB$.

Ответ: а) $\displaystyle \frac{11}{2}$; в) $\displaystyle \frac{11\sqrt{13}}{6}$

11. 3997. На стороне $AC=21$ треугольника $ABC$ лежит центр $O$ окружности, касающейся сторон $AB=17$ и $BC=10$.
а) Найти радиус этой окружности.
б) Доказать, что $AO:OC=AB:BC$.
в) Найти $OB$.

Ответ: а) $\displaystyle \frac{56}{9}$; в) $\displaystyle \frac{8\sqrt{85}}{9}$

12. 3998. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=17$, $BC=10$ и $AC=9$ проведены медиана $AM$ и биссектриса $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти площадь четырёхугольника $OMCK$.

Ответ: $\displaystyle\frac{305}{33}$

13. 4000. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=13$, $BC=14$ и $AC=15$ проведены медиана $AM$ и биссектриса $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти площадь четырёхугольника $OMCK$.

Ответ: $\displaystyle\frac{2597}{90}$

14. 4001. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=9$, $BC=10$ и $AC=17$ проведены медиана $AM$ и биссектриса $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти площадь четырёхугольника $OMCK$.

Ответ: $\displaystyle\frac{1665}{133}$

15. 4002. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=13$, $BC=15$ и $AC=14$ проведены медиана $AM$ и биссектриса $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти площадь четырёхугольника $OMCK$.

Ответ: $\displaystyle\frac{1215}{41}$

16. 4003. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали равны $AC=15$ и $BD=7$, а средняя линия трапеции равна $10$.
а) Найти площадь трапеции $ABCD$.
б) Найти площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагоналями, если $AD:BC=4:3$.

Ответ: а) $42$; б) $\displaystyle\frac{54}{7}$, $\displaystyle\frac{96}{7}$, $\displaystyle\frac{72}{7}$.

17. 4004. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали равны $AC=13$ и $BD=14$, а средняя линия трапеции равна $7{,}5$.
а) Найти площадь трапеции $ABCD$.
б) Найти площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагоналями, если $AD:BC=2:1$.

Ответ: а) $84$; б) $\displaystyle\frac{28}{3}$, $\displaystyle\frac{112}{3}$, $\displaystyle\frac{56}{3}$.

18. 4005. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали равны $AC=13$ и $BD=11$, а средняя линия трапеции равна $10$.
а) Найти площадь трапеции $ABCD$.
б) Найти площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагоналями, если $AD:BC=2:1$.

Ответ: а) $66$; б) $\displaystyle\frac{22}{3}$, $\displaystyle\frac{88}{3}$, $\displaystyle\frac{44}{3}$.

19. 4006. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали равны $AC=13$ и $BD=15$, а средняя линия трапеции равна $7$.
а) Найти площадь трапеции $ABCD$.
б) Найти площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагоналями, если $AD:BC=4:3$.

Ответ: а) $84$; б) $\displaystyle\frac{108}{7}$, $\displaystyle\frac{192}{7}$, $\displaystyle\frac{144}{7}$.

20. 4007. Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найти диагональ трапеции.

Ответ: 85

21. 4008. Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона 39. Найти диагональ трапеции.

Ответ: 85

22. 4009. Основания равнобедренной трапеции равны 52 и 88, боковая сторона 30. Найти диагональ трапеции.

Ответ: 74

23. 4010. Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 57, боковая сторона 82. Найти диагональ трапеции.

Ответ: 89

24. 4011. Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH=20$ и $HD=5$. Найдите площадь ромба.

Ответ: 375

25. 4012. Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH=21$ и $HD=14$. Найдите площадь ромба.

Ответ: 980

26. 4013. Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH=18$ и $HD=12$. Найдите площадь ромба.

Ответ: 720

27. 4014. Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH=12$ и $HD=8$. Найдите площадь ромба.

Ответ: 320

28. 4015. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4\sqrt{x+5}=x+a$ имеет ровно два корня.

Ответ: $a\in[5;~9)$

29. 4016. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $2\sqrt{x+3}=x+a$ имеет ровно один корень.

Ответ: $a\in(-\infty;~3)\cup\{4\}$

30. 4017. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-4ax-x+3a^2+3a)\sqrt{x-6}=0$ имеет ровно два корня.

Ответ: $a\in(2;~5]$