1. 4018. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-3ax+x+2a^2-2a)\sqrt{x-6}=0$ имеет ровно два корня.
Ответ: $a\in(3;~7]$
2. 4019. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3ax^2+2a^2x+ax-x-2a^2+2a=0$ имеет ровно два корня.
Ответ: $1/2$, $2$, $-1$
3. 4020. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-4ax^2-3x^2+3a^2x+10ax+2x-3a^2-6a=0$ имеет ровно два корня.
Ответ: $1/3$, $\pm1$
4. 4021. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x-a|=\sqrt{8x+2-x^2}$ имеет ровно один корень.
Ответ: $a=-2$, $a=10$
5. 4022. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x-a|=\sqrt{31-x^2-2x}$ имеет ровно два корня.
Ответ: $a\in(-9;~7)$
6. 4023. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенству $x^2-a^2x+2x-2a^2\leqslant 0$ удовлетворяет не менее шести целых чисел.
Ответ: $|a|\geqslant\sqrt3$
7. 4024. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенству $x^2-a^2x+3x-3a^2\leqslant 0$ удовлетворяет не менее девяти целых чисел.
Ответ: $|a|\geqslant\sqrt5$
8. 4025. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $ax^3+(a-1)x^2-(2a+1)x+2=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение. Заметим, что $x_1=1$ обращает уравнение в тождество: $a\cdot1^3+(a-1)\cdot1^2-(2a+1)\cdot1+2=a+a-1-2a-1+2=0$. Разделив (в столбик) многочлен на $x-1$, получим в частном квадратный трёхчлен $ax^2+(2a-1)x-2$ (проделайте деление самостоятельно). Решим уравнение $ax^2+(2a-1)x-2=0$. Его дискриминант $D=(2a-1)^2-4\cdot a\cdot (-2)=(2a-1)^2+8a=4a^2+4a+1=(2a+1)^2$, а корни $\displaystyle x_{2,3}=\frac{1-2a\pm(2a+1)}{2a}$; $\displaystyle x_2=\frac{1}{a}$, $x_3=-2$.
Данное уравнение будет иметь два корня, если $\displaystyle\frac{1}{a}=1$ или $\displaystyle\frac{1}{a}=-2$, то есть если два из найденных нами корней совпадают. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $a=1$, $\displaystyle a=-\frac12$
9. 4026. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $2ax^3+(1-6a)x^2-(8a+3)x-4=0$ имеет ровно два различных корня.
Ответ: $\displaystyle a=\frac12$, $\displaystyle a=-\frac18$
10. 4027. Решить уравнение $x^6+2x^5+x^4-x^3-x^2=2$.
Ответ: 1
11. 4028. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x+a|=\sqrt{4x+4-x^2}$ имеет два корня.
Решение. Графиком функции $y=|x+a|$ является известная «галочка», вершина которой находится в точке $(-a,~0)$. Это означает, что при увеличении $a$ галочка двигается вдоль оси абсцисс влево, при уменьшении ― вправо. Графиком функции $y=\sqrt{4x+4-x^2}=\sqrt{8-(x-2)^2}$ является окружность с центром в точке $(2,~0)$ и радиусом $2\sqrt2$. Уравнение будет иметь один корень, если «галочка» касается окружности: это обеспечивается при $a=-6$ (точка касания ― $(4,~2)$) и при $a=2$ (точка касания ― $(0,~2)$). Сделайте чертеж и закончите решение самостоятельно.
Ответ: $a\in(-6,~2)$
12. 4029. Найти все значения параметра $a$, при которых система $$\left\{ \begin{aligned} &y-|x|=0, \\ &x^2+(y-a)^2=18 \end{aligned}\right. $$ имеет четыре решения.
Ответ: $a\in(0,~6)$
13. 4030. Построить график функции: $y=\sqrt{x-4\sqrt{x-1}+3}$.
14. 4031. Построить график функции: $y = (x + 3) \sqrt{x^2 + 2x + 1}$
15. 4032. Построить график функции $\displaystyle y=\frac{x-5}{x-2}\sqrt{x^2-4x+4}$.
16. 4033. Построить график функции: $y=\sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}}$.
17. 4034. Построить график функции $y=(x-4)\sqrt{x^2+4x+4}$
18. 4035. Построить график функции $\displaystyle y=f(x)=\frac{x^2-7x+10}{\sqrt{x^2-10x+25}}$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x)=a$ имеет ровно один корень?
19. 4036. Вычислить: $(3\sqrt{245}-\sqrt{80}+2\sqrt{45}):\sqrt{125}$.
Ответ: $4{,}6$
20. 4037. Вычислить: $\displaystyle \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{243}-5\sqrt{27}+3\sqrt{75}}$.
Ответ: $2/3$
21. 4038. Сократить дробь: $\displaystyle\frac{x-2\sqrt{x}-15}{x+\sqrt{x}-6}$.
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2}$
22. 4039. Сократить дробь: $\displaystyle \frac{x\sqrt{x}-8}{x+2\sqrt{x}+4}$.
Ответ: $\sqrt x-2$
23. 4040. Сравнить: $\sqrt3+\sqrt{11}$ и $5$
Ответ: $\sqrt3+\sqrt{11} > 5$
24. 4041. Сравнить: $\sqrt{13} + \sqrt{19}$ и $8$.
Ответ: $\sqrt{13} + \sqrt{19} < 8$.
25. 4042. Не пользуясь калькулятором, расставить числа в порядке возрастания:
$3\sqrt7$; $2\sqrt{17}$; $8$; $\sqrt{15}+\sqrt{17}$; $2\sqrt{15}$; $\sqrt{14}+3\sqrt{2}$; $\displaystyle\frac{79}{10}$.
26. 4043. Сравнить $\sqrt{15}+\sqrt{17}$ и $8$
Ответ: $\sqrt{15}+\sqrt{17} < 8$
27. 4044. Решить уравнение: $5\sqrt{|x+2|}=x+8$
Ответ: $-3$; $2$; $7$.
28. 4045. Решить уравнение: $5\sqrt{|x+3|}=3-x$
Ответ: $-2$; $-7$; $-12$.
29. 4046. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$, один из острых углов равен $\alpha$. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.
Ответ: $\displaystyle c\cos\alpha\sin\alpha=\frac{1}{2}c\sin2\alpha$
30. 4047. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.
Ответ: $\displaystyle \frac{56}{5}$