1. 4018. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-3ax+x+2a^2-2a)\sqrt{x-6}=0$ имеет ровно два корня.

Ответ: $a\in(3;~7]$

2. 4019. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3ax^2+2a^2x+ax-x-2a^2+2a=0$ имеет ровно два корня.

Ответ: $1/2$, $2$, $-1$

3. 4020. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-4ax^2-3x^2+3a^2x+10ax+2x-3a^2-6a=0$ имеет ровно два корня.

Ответ: $1/3$, $\pm1$

4. 4021. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x-a|=\sqrt{8x+2-x^2}$ имеет ровно один корень.

Ответ: $a=-2$, $a=10$

5. 4022. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x-a|=\sqrt{31-x^2-2x}$ имеет ровно два корня.

Ответ: $a\in(-9;~7)$

6. 4023. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенству $x^2-a^2x+2x-2a^2\leqslant 0$ удовлетворяет не менее шести целых чисел.

Ответ: $|a|\geqslant\sqrt3$

7. 4024. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенству $x^2-a^2x+3x-3a^2\leqslant 0$ удовлетворяет не менее девяти целых чисел.

Ответ: $|a|\geqslant\sqrt5$

8. 4025. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $ax^3+(a-1)x^2-(2a+1)x+2=0$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $a=1$, $\displaystyle a=-\frac12$

9. 4026. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $2ax^3+(1-6a)x^2-(8a+3)x-4=0$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $\displaystyle a=\frac12$, $\displaystyle a=-\frac18$

10. 4027. Решить уравнение $x^6+2x^5+x^4-x^3-x^2=2$.

Ответ: 1

11. 4028. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x+a|=\sqrt{4x+4-x^2}$ имеет два корня.

Ответ: $a\in(-6,~2)$

12. 4029. Найти все значения параметра $a$, при которых система $$\left\{ \begin{aligned} &y-|x|=0, \\ &x^2+(y-a)^2=18 \end{aligned}\right. $$ имеет четыре решения.

Ответ: $a\in(0,~6)$

13. 4030. Построить график функции: $y=\sqrt{x-4\sqrt{x-1}+3}$.

14. 4031. Построить график функции: $y = (x + 3) \sqrt{x^2 + 2x + 1}$

15. 4032. Построить график функции $\displaystyle y=\frac{x-5}{x-2}\sqrt{x^2-4x+4}$.

16. 4033. Построить график функции: $y=\sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}}$.

17. 4034. Построить график функции $y=(x-4)\sqrt{x^2+4x+4}$

18. 4035. Построить график функции $\displaystyle y=f(x)=\frac{x^2-7x+10}{\sqrt{x^2-10x+25}}$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x)=a$ имеет ровно один корень?

19. 4036. Вычислить: $(3\sqrt{245}-\sqrt{80}+2\sqrt{45}):\sqrt{125}$.

Ответ: $4{,}6$

20. 4037. Вычислить: $\displaystyle \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{243}-5\sqrt{27}+3\sqrt{75}}$.

Ответ: $2/3$

21. 4038. Сократить дробь: $\displaystyle\frac{x-2\sqrt{x}-15}{x+\sqrt{x}-6}$.

Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2}$

22. 4039. Сократить дробь: $\displaystyle \frac{x\sqrt{x}-8}{x+2\sqrt{x}+4}$.

Ответ: $\sqrt x-2$

23. 4040. Сравнить: $\sqrt3+\sqrt{11}$ и $5$

Ответ: $\sqrt3+\sqrt{11} > 5$

24. 4041. Сравнить: $\sqrt{13} + \sqrt{19}$ и $8$.

Ответ: $\sqrt{13} + \sqrt{19} < 8$.

25. 4042. Не пользуясь калькулятором, расставить числа в порядке возрастания:
$3\sqrt7$; $2\sqrt{17}$; $8$; $\sqrt{15}+\sqrt{17}$; $2\sqrt{15}$; $\sqrt{14}+3\sqrt{2}$; $\displaystyle\frac{79}{10}$.

26. 4043. Сравнить $\sqrt{15}+\sqrt{17}$ и $8$

Ответ: $\sqrt{15}+\sqrt{17} < 8$

27. 4044. Решить уравнение: $5\sqrt{|x+2|}=x+8$

Ответ: $-3$; $2$; $7$.

28. 4045. Решить уравнение: $5\sqrt{|x+3|}=3-x$

Ответ: $-2$; $-7$; $-12$.

29. 4046. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$, один из острых углов равен $\alpha$. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.

Ответ: $\displaystyle c\cos\alpha\sin\alpha=\frac{1}{2}c\sin2\alpha$

30. 4047. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

Ответ: $\displaystyle \frac{56}{5}$