1. 4048. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $\alpha$, а площадь равна $S$. Найдите основание.

Ответ: $\displaystyle2\sqrt{S\,\text{tg}\,\frac{\alpha}{2}}$

2. 4049. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной равна 12, а расстояние между точками касания равно $14{,}4$. Найдите радиус окружности.

Ответ: 9

3. 4050. Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$, а большая боковая сторона равна $6\sqrt{3}$. Найдите вторую боковую сторону трапеции.

Ответ: 6

4. 4051. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен $120^{\circ}$. Найдите диагонали трапеции.

Ответ: $4\sqrt{3}$, $2\sqrt{19}$

5. 4061. Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{11}{\sqrt x+2}+\frac{4}{\sqrt x-3}\right)\frac{x-\sqrt x-6}{9x-25}$.

Ответ: $\displaystyle \frac{5}{3\sqrt x+5}$

6. 4062. Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{5}{\sqrt x-3}-\frac{21}{\sqrt x+5}+8\right)\frac{x+2\sqrt x-15}{x-\sqrt x+4}$.

Ответ: $\displaystyle \frac{8\sqrt x+16}{\sqrt x-2}$

7. 4063. Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{10\sqrt x-17}{3x-3}+\frac{3\sqrt x-10}{3\sqrt x+6}\right):\frac{x+2\sqrt x+4}{x-1}$.

Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt x-2}{\sqrt x+2}$

8. 4064. Упростить выражение: $\displaystyle \frac{x-4}{x+\sqrt x+1}\left(\frac{13\sqrt x-19}{5x-20}+\frac{5\sqrt x-13}{5\sqrt x+15}\right)$.

Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+3}$

9. 4065. Упростить выражение: $\displaystyle \sqrt{(2\sqrt7-4\sqrt2)^2}-\frac{10}{\sqrt{28}+\sqrt{32}}+\sqrt{72}$

Ответ: $3\sqrt7$

10. 4066. Упростить выражение: $\displaystyle \sqrt{(3\sqrt5-2\sqrt{11})^2}+\frac{6}{\sqrt5+\sqrt{11}}-\sqrt{20}$

Ответ: $-\sqrt{11}$

11. 4067. Упростить выражение: $\displaystyle \sqrt{(4\sqrt{10}-5\sqrt{7})^2}+\frac{9}{\sqrt7+\sqrt{10}}-\sqrt{28}$

Ответ: $-\sqrt{10}$

12. 4068. Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{4\sqrt x+5}{\sqrt x+1}-\frac{5\sqrt x-41}{x-9}\right):\frac{x+\sqrt x+1}{x-9}$.

Ответ: $\displaystyle \frac{4\sqrt x-4}{\sqrt x+1}$

13. 4069. Упростить: $\displaystyle \frac{x-3\sqrt x+2}{x-2\sqrt x+4}\left(\frac{3\sqrt x+10}{\sqrt x-2}-\frac{10\sqrt x+17}{x-1}\right)$

Ответ: $\displaystyle\frac{3\sqrt x+6}{\sqrt x+1}$

14. 4070. Упростить: $\displaystyle \left(\frac{3\sqrt x+10}{\sqrt x-2}-\frac{10\sqrt x+17}{x-1}\right):\frac{x-2\sqrt x+4}{x-1}$

Ответ: $\displaystyle\frac{3\sqrt x+6}{\sqrt x-2}$

15. 4071. Решить уравнение: $5\sqrt{|x+1|}=5-x$

Ответ: $-10$; $-5$; 0

16. 4072. Решить уравнение: $5\sqrt{|x+1|}=x+7$

Ответ: $-2$; 3; 8

17. 4073. Решить уравнение: $5\sqrt{|2-x|}=8-x$

Ответ: $-7$; -2; 3

18. 4074. Решить уравнение: $5\sqrt{|2-x|}=x+4$

Ответ: 1; 6; 11

19. 4075. Решить уравнение: $13\sqrt{9-|x|}=x+21$

Ответ: $-8$; 5

20. 4076. Решить уравнение: $13\sqrt{9-|x|}=21-x$

Ответ: $-5$; 8

21. 4077. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:4$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OD:OB$.

Ответ: $3:7$

22. 4078. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=2:3$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OM:AO$.

Ответ: $2:5$

23. 4079. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:2$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OD:OB$.

Ответ: $3:5$

24. 4080. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:5$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OM:AO$.

Ответ: $3:8$

25. 4081. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=2:1$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

Ответ: а) $11:4$, б) $5:6$

26. 4082. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=1:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

Ответ: а) $4:1$, б) $1:5$

27. 4083. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

Ответ: а) $11:9$, б) $3:8$

28. 4084. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

Ответ: а) $17:3$, б) $9:8$

29. 4085. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=4$, $AC=15$ и $AB=13$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.

Ответ: а) $7:1$, б) $17:15$, в) $\displaystyle\frac{2025}{476}$

30. 4086. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=4$, $AC=13$ и $AB=15$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.

Ответ: а) $7:1$, б) $19:13$, в) $\displaystyle\frac{1833}{532}$