1. 4087. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=15$, $AC=13$ и $AB=4$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.
Ответ: а) $17:15$, б) $19:13$, в) $\displaystyle\frac{5265}{323}$
2. 4088. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=13$, $AC=15$ и $AB=4$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.
Ответ: а) $19:13$, б) $17:15$, в) $\displaystyle\frac{5265}{323}$
3. 4089. Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 8. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 60.
Ответ: 15, 21, 24
4. 4090. Дан треугольник со сторонами 15, 21 и 24. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 20.
Ответ: 5, 7, 8
5. 4091. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=2:3$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $9:16$
6. 4092. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=3:2$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $4:21$
7. 4093. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=3:1$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $1:15$
8. 4094. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=4:3$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $9:40$
9. 4095. Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его площадь равна 96.
Ответ: 12, 16 и 20.
10. 4096. Дан прямоугольник со сторонами 4 и 7. Найти стороны прямоугольника, подобного данному, если его площадь равна 700.
Ответ: 20, 35.
11. 4097. Дан треугольник со сторонами 9, 12 и 15 ($9^2+12^2=15^2$). Найти стороны треугольника, подобного данного, если его площадь равна 24.
Ответ: 6, 8, 10.
12. 4098. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-6x-28=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $-168$; б) $92$; в) $720$.
13. 4099. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-10x+2=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $20$; б) $96$; в) $940$.
14. 4100. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-14x+32=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $448$; б) $132$; в) $1400$.
15. 4101. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-10x+12=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $120$; б) $76$; в) $640$.
16. 4102. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-6x-10=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $-60$; б) $56$; в) $396$.
17. 4103. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-10x+8=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $80$; б) $84$; в) $760$.
18. 4104. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-14x+38=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $532$; б) $120$; в) $1148$.
19. 4105. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-6x+2=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2+x_1x_2^2$;
б) $x_1^2+x_2^2$;
в) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $12$; б) $32$; в) $180$.
20. 4106. Один из корней уравнения $25x^2+px+2=0$ в 2 раза больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-15$ (корни $1/5$ и $2/5$)
21. 4107. Один из корней уравнения $9x^2+px+8=0$ в 2 раза больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-18$ (корни $2/3$ и $4/3$)
22. 4108. Один из корней уравнения $9x^2+px+5=0$ в 5 раз больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-18$ (корни $1/3$ и $5/3$)
23. 4109. Один из корней уравнения $4x^2+px+27=0$ в 3 раза больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-24$ (корни $3/2$ и $9/2$)
24. 4110. Один из корней уравнения $8x^2+px+9=0$ в 2 раза больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-18$ (корни $3/4$ и $3/2$)
25. 4111. Один из корней уравнения $25x^2+px+18=0$ в 2 раза больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-45$ (корни $3/5$ и $6/5$)
26. 4112. Один из корней уравнения $3x^2+px+4=0$ в 3 раза больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-8$ (корни $2/3$ и $2$)
27. 4113. Один из корней уравнения $49x^2+px+27=0$ в 3 раза больше другого. Найти $p$.
Ответ: $-84$ (корни $2/3$ и $2$)
28. 4114. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $48x^2-72x-5=0$. Не вычисляя корней уравнения, найти:
а) $x_1^2x_2^3+x_1^3x_2^2$;
б) $x_1^3+x_2^3$.
Ответ: а) $25/1536$; б) $123/32$.
29. 4128. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Через точку $D$ параллельно стороне $AB$ проведена прямая, пересекающая сторону $AC$ в точке $E$. Найти $DE$, если $AB=6$ и $AC=10$.
Ответ: $\displaystyle\frac{15}{4}$
30. 4129. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапеции, площади которых относятся как $2:1$, считая от вершины. В каком отношении эта прямая делит боковую сторону треугольника?
Ответ: $\displaystyle \sqrt{6}+2$