1. 4340. Даны координаты противоположных вершин квадрата $ABCD$: $A(-1;~-3)$ и $C(3;~5)$. Найти координаты вершин $B$ и $D$.
Ответ: $B(5;~-1)$, $D(-3;~3)$
2. 4341. Даны координаты смежных вершин прямоугольника $ABCD$: $A(-4;~3)$, $B(-2;~-3)$. $O(3;~2)$ — точка пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин $C$ и $D$.
Ответ: $C(10;~1)$, $D(8;~7)$
3. 4342. Даны координаты противоположных вершин квадрата $ABCD$: $A(-3;~-1)$ и $C(6;~4)$. Найти координаты вершин $B$ и $D$.
Ответ: $B(4;~-3)$, $D(-1;~6)$
4. 4343. Решить уравнение для каждого значения параметра $a$: $|a|x+2a+3=3x$. При каких значениях параметра $a$ уравнение не имеет решений?
5. 4344. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x-a|=ax$ имеет ровно один корень. Найти соответствующие корни уравнения.
6. 4345. Решить уравнение для каждого значения параметра $a$: $2x=|a|x+2-a$. При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет более одного корня?
7. 4346. В корзине лежат шесть белых и три чёрных шарика. Не глядя, без возвращения, из корзины один за другим достают три шарика. Случайная величина $\xi$ — количество черных шариков в такой выборке. Составить ряд распределения величины $\xi$, найти её математическое ожидание.
8. 4347. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной функцией распределения: $F_{\xi}(x)=\left\{\begin{aligned} &0, &\text{если}~x < -1; \\ &0{,}4, &\text{если}~-1 \leqslant x < 1; \\ &0{,}6, &\text{если}~1 \leqslant x < 3; \\ &1, &\text{если}~x \geqslant 3. \end{aligned}\right.$
9. 4348. Вычислить: $\displaystyle \sin 690^{\circ} \text{tg}\,480^{\circ}$.
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}$
10. 4349. Вычислить: $\displaystyle \cos 510^{\circ}\, \text{tg}\,315^{\circ}$.
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}$
11. 4350. Вычислить: $\displaystyle \cos \frac{7\pi}{3} \sin\left(-\frac{13\pi}{4}\right)$.
Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}$
12. 4351. Найти $\cos\alpha$ и $\text{tg}\,\alpha$, если $\displaystyle \sin\alpha=\frac{7}{25}$ и $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
Ответ: $\displaystyle \cos\alpha=-\frac{24}{25}$, $\displaystyle \text{tg}\,alpha=-\frac{7}{24}$
13. 4352. Найти $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, если $\displaystyle \text{tg}\,\alpha=-\frac{20}{21}$ и $\displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.
Ответ: $\sin\alpha=\displaystyle-\frac{20}{29}$, $\sin\alpha=\displaystyle\frac{21}{29}$
14. 4353. Упростить выражение: $\displaystyle\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}$.
Ответ: $\displaystyle\frac{2}{\cos\alpha}$
15. 4354. Упростить выражение: $\displaystyle\frac{2\sin^2\alpha-1}{\sin\alpha+\cos\alpha}$ и вычислить его значение при $\displaystyle\alpha=\frac{19\pi}{4}$
Ответ: $\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt2$
16. 4355. Упростить выражение: $\displaystyle\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}+\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$
Ответ: $\displaystyle\frac{2}{|\sin\alpha|}$
17. 4356. Найти все значения параметра $a$, при которых ровно один из корней уравнения $x^2-5ax-4x+6a^2+13a-5=0$ принадлежит отрезку $[2;~4]$.
18. 4357. Найти все значения параметра $a$, при которых число 2 находится между корнями уравнения $x^2-ax-3x-2a^2+3a+2=0$.
19. 4358. Найти все значения параметра $a$, при которых корни уравнения $x^2-2ax-2x+2a-4=0$ разных знаков и оба по абсолютной величине меньше 7.
20. 4359. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=5:3$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=3:2$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MA}$; б) $\overline{MK}$; в) $\overline{CN}$, где $N$ — середина $MK$.
21. 4360. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:1$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=2:3$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MD}$; б) $\overline{KM}$; в) $\overline{BN}$, где $N$ — середина $MK$.
22. 4361. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=2:1$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MA}$; б) $\overline{MK}$; в) $\overline{CN}$, где $N$ — середина $MK$.
23. 4362. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=3:1$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MD}$; б) $\overline{KM}$; в) $\overline{BN}$, где $N$ — середина $MK$.
24. 4363. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=2\vec e_1-3\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
25. 4364. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=3\vec e_1-5\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
26. 4365. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=2\vec e_1-7\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
27. 4366. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=\vec e_1-3\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
28. 4367. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней уравнения $x^2-6x-4a^2+8a+5=0$ лежит на отрезке $[4;~6]$.
Ответ: $a\in[-1/2;~1/2]\cup[3/2;~5/2]$
29. 4368. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней уравнения $x^2+ax-8x-2a^2-7a+15=0$ лежит на отрезке $[5;~7]$.
Ответ: $a\in[-2;~-1]\cup[0;~2]$
30. 4369. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней уравнения $x^2-ax-3x-2a^2+3a+2=0$ лежит на отрезке $[3;~5]$.
Ответ: $a\in[-3;~-1]\cup[1;~2]$