1. 691. Найти наименьшее значение функции $\displaystyle y=e^{2x}(4x^2-2x-1)$ на отрезке $[-3/2,1]$.
2. 692. Транспортное средство поднимает груз вверх по наклонной плоскости с постоянной скоростью. Коэффициент трения груза о плоскость равен $\mu$. При каком угле $\alpha$ наклона плоскости к горизонту необходимая сила тяги будет наибольшей?
3. 693. Затраты на 1 км рейса морского транспорта выражаются формулой $G=(a/V+bV^2)/1{,}85$, где $V$ — скорость транспорта (в узлах), $a$ и $b$ — положительные постоянные, зависящие от вида транспорта и стоимости топлива. Найти значение $V$, при котором затраты на рейс будут наименьшим.
4. 694. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle y=\frac{2(2x^2-x-1)}{x^2+2x+2}$ на отрезке $[-1,2]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[-1,2]}f(x)=f(-1)=4$, $\displaystyle\min_{[-1,2]}f(x)=f(0)=-1$.
5. 695. В полусферу радиуса $a$ опущен стержень длины $3a$. Найти угол наклона стержня в его положении равновесия (середина стержня занимает самое низкое положение).
6. 696. Полная поверхность цилиндрической консервной банки заданного объема $V$ равна $S=2\pi r^2+2V/r$, где $r$ — радиус банки. Найти значение $r$, при котором на изготовление банки пойдет наименьшее количество материала.
7. 697. Найти наибольшее значение функции $\displaystyle y=e^{-x}(x^2+x-1)$ на отрезке $[0,1]$.
8. 698. Тело массой $m_0=3000$ кг падает с высоты $H=500$ м с нулевой начальной скоростью и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности $k=100$ кг/с. Найти наибольшую кинетическую энергию тела. Массой воздуха пренебречь, ускорение свободного падения считать равным $g=10$ м/с².
9. 699. Дальность полета $x$ шарика, скатившегося по кривому желобу с высоты $H$ до высоты $h$, вычисляется по формуле $x=2\sqrt {h(H-h)}$. При каком $h$ дальность $x$ полета будет наибольшей?
10. 700. Найти наибольшее значение функции $\displaystyle y=\sqrt [3]{2x^2(3-x)}$ на отрезке $[-1,6]$.
11. 701. Цистерна заданного объема $V$ имеет форму (вертикального) цилиндра, завершенного сверху полушаром того же радиуса. При каком радиусе на ее изготовление пойдет наименьшее количество материала?
12. 702. Площадь поперечного сечения специального трубопровода выражается формулой $S=a\sin\alpha(1+\cos\alpha)$, где $a$ — некоторая постоянная, а $\alpha$ — параметр, принимающий значения от $0$ до $\pi/2$. При каком значении $\alpha$ пропускная способность трубопровода будет наибольшей?
13. 703. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle\frac {2(x^2+3)}{x^2-2x+5}$ на отрезке $[-3,3]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[-3,3]}f(x)=f(3)=3$, $\displaystyle\min_{[-3,3]}f(x)=f(-1)=1$.
14. 704. Какую длину имеет цилиндрическая балка наибольшего объема, которую можно вырезать из бревна (выдержав соосность), имеющего форму усеченного конуса длины 15 м и радиусами оснований 80 см и 30 см?
15. 705. Если из круглого бревна диаметром $d$ вырезать балку с прямоугольным сечением, основание которого равно $b$, то предельная нагрузка, которую сможет выдержать эта балка (будучи опертой на концах и равномерно нагруженной), равна $P=kb(d^2-b^2)$, где $k$ — постоянная. Найти значение $b$, при котором балка обладает наибольшей прочностью.
16. 706. Найти наибольшее значение функции $\displaystyle y=\frac{3}{2x+1}-\frac {3}{2x-3}-2$ на отрезке $[0,1]$.
17. 707. На какой высоте нужно пробить отверстие в бочке, наполненной водой, чтобы бьющая из него струя имела наибольшую дальность?
18. 708. Исследовать поведение функции $\displaystyle y=\textrm{arctg}\frac{1}{x-2}$ в окрестности точки разрыва и на бесконечности. Построить график.
19. 709. Исследовать поведение функции $\displaystyle y=\frac{|x+1|}{x+1}\sqrt{4-x^2}$ в окрестности точки разрыва. Найти область определения функции. Построить график.
20. 710. Исследовать поведение функции $\displaystyle y=\frac{4^x-1}{|2^x-1|}$ при $x\to0$ (слева и справа) и на бесконечности. Построить график функции.
21. 711. Найти точки разрыва функции $y=|\sin x|\cdot\textrm{ctg}\,x$, исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва. Построить график.
22. 712. Исследовать поведение функции $\displaystyle y=\frac{|x-3|}{x-3}\log_{0{,}5}(x-1)$ при $x\to3$ (слева и справа) и на бесконечности. Найти область определения функции. Построить график.
23. 713. Для функции $\displaystyle y=\frac{|x|}{x}\sqrt{3-x^2-2x}$ вычислить пределы при $x\to-0$ и $x\to+0$. Найти область определения функции. Построить график.
24. 714. Построить график функции: $\displaystyle y=\frac{x^2-x-6}{x^2+3x+2}$. Указать и классифицировать точку разрыва.
25. 715. Исследовав поведение функции в окрестности точек разрыва и на бесконечности, построить график: $\displaystyle y=\frac{3^{1/x}}{x^2-1}$
26. 716. Исследовав поведение функции в окрестности точек разрыва и на бесконечности, построить график: $\displaystyle y=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$.
27. 717. Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{4}{27}$, а пятый равен $\displaystyle\frac{16}{243}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ: $b_1=1/3$, $q=2/3$
28. 718. Произведение второго и четвертого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно $\displaystyle\frac{16}{729}$, а отношение пятнадцатого и одиннадцатого членов равно $\displaystyle\frac{16}{81}$. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.
Ответ: $S_{7}=2059/2187$
29. 719. Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{1}{6}$, а шестой равен $\displaystyle\frac{1}{48}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ: $b_1=2/3$, $q=1/2$
30. 720. Произведение второго и пятого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно $\displaystyle\frac{1}{72}$, а отношение шестнадцатого и двенадцатого членов равно $\displaystyle\frac{1}{16}$. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии.
Ответ: $S_{10}=341/256$