1. 751. Найти нули производной функции $f(x)=3\sin2x+2\sin x+4x-5$.
Ответ: $\displaystyle\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $\displaystyle\pm\arccos\frac13+2\pi k$
2. 752. Найти нули производной функции $f(x)=3\sin2x-2\cos x-2x+3$.
Ответ: $\displaystyle(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$, $\displaystyle\arcsin\frac23+\pi k$
3. 753. Найти нули производной функции $f(x)=3\sin 2x-14\sin x+10x-2$.
Ответ: $\displaystyle\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $\displaystyle\pm\arccos\frac23+2\pi k$
4. 754. Написать уравнения касательных к графику функции $y=2x^3-15x^2+18x$, параллельных прямой $y=5-6x$.
Ответ: $y=11-6x$, $y=-6x-16$
5. 755. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x^3-3x^2-12x$, параллельных прямой $y=2-3x$.
Ответ: $y=5-3x$, $y=-3x-27$.
6. 756. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x^3-9x^2+18x$, параллельных прямой $y=3x-1$.
Ответ: $y=3x+7$, $y=3x-25$.
7. 757. Написать уравнения касательных к графику функции $y=2x^3-9x^2-18x$, параллельных прямой $y=6x+10$.
Ответ: $y=6x+13$, $y=6x-112$.
8. 758. Написать уравнения касательных к графику функции $y=\displaystyle\frac13(x^3-6x^2+12x)$, параллельных прямой $y=x-1$.
Ответ: $y=x+4/3$, $y=x$.
9. 759. Написать уравнения касательных к графику функции $y=2x^3-3x^2-6x$, параллельных прямой $y=6x-4$.
Ответ: $y=6x+7$, $y=6x-20$.
10. 760. Написать уравнения касательных к графику функции $f(x)=\displaystyle\frac{2x^3-3x^2-48x}{6}$, параллельных прямой $y=-2x+5$.
Решение. Так как касательные должны быть параллельны прямой $y=-2x+5$, в точках касания производная должна быть равна −2. Получаем уравнение $f'(x)=-2$, из которого находим абсциссы точек касания: $\displaystyle f'(x)=\frac{6x^2-6x-48}{6}=x^2-x-8=-2$, $x^2-x-6=0$, откуда $x=-2$ и $x=3$. Вычислим значения функции в этих точках: $\displaystyle f(-2)=\frac{34}{3}$, $\displaystyle f(3)=-\frac{39}{2}$. Осталось написать уравнения двух параллельных прямых с угловым коэффициентом наклона −2, проходящих через точки $(-2,~34/3)$ и $(3,~-39/2)$:
$\displaystyle y=-2(x+2)+\frac{34}{3}=-2x+\frac{22}{3}$;
$\displaystyle y=-2(x-3)-\frac{39}{2}=-2x-\frac{27}{2}$.
Ответ: $6x+3y=22$, $4x+2y+27=0$.
11. 761. Для данной функции $f(x)$ решить уравнение $f'(x)=0$: $f(x)=x\ln^2x-2x\ln x+x$.
Ответ: $e$, $1/e$.
12. 762. Решить уравнение $f'(x)=0$, если $f(x)=2x\ln^2x-7x\ln x+8x+1$.
Ответ: $e$, $\sqrt e$.
13. 763. Решить уравнение $(2x\ln^2x-3x\ln x-3x)'=0$.
Решение. $(2x\ln^2x-3x\ln x-3x)'=2\ln^2x+2x\cdot2\ln x\cdot\frac{1}{x}-3\ln x-3x\cdot\frac{1}{x}-3=$ $2\ln^2x+4\ln x-3\ln x-3-3=$ $2\ln^2 x+\ln x-6=$ $(\ln x+2)(2\ln x-3)$. Из уравнения $(\ln x+2)(2\ln x-3)=0$ находим $x=e^{-2}$ и $x=e^{3/2}$.
Ответ: $e\sqrt e$, $1/e^2$.
14. 764. Найти нули производной функции $y=\cos2x-2\sin x-2\cos x+x$.
Ответ: $\displaystyle\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $\displaystyle(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k$
15. 765. Найти нули производной функции $\displaystyle y=(x-3)\sin x+\cos x+\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}$.
Ответ: $\displaystyle\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, 3.
16. 766. Найти нули производной функции $\displaystyle f(x)=2x\sin x+(6-x^2)\cos x-\frac13 x^3+4x$.
Решение. $f'(x)=2\sin x+2x\cos x+(-2x)\cos x+(6-x^2)(-\sin x)-x^2+4=$ $2\sin x-6\sin x+x^2\sin x-x^2+4=$ $x^2\sin x-4\sin x-x^2+4=$ $(x^2-4)\sin x-(x^2-4)=$ $(x^2-4)(\sin x-1)$. Осталось решить уравнение $(x^2-4)(\sin x-1)=0$.
Ответ: $\pm 2$, $\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n$.
17. 768. Теплоход прошёл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 4 часа, а против течения — за 5 часов. Определите расстояние между пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч.
Ответ: 80 км.
18. 770. Пловец по течению быстрой реки проплыл 150 м. Когда же он поплыл против течения, то за такое же время его снесло течением на 50 м ниже по течению. Во сколько раз скорость течения реки больше скорости пловца в стоячей воде?
Ответ: В 2 раза.
19. 771. а) Решить уравнение: $(\sin2x+3\cos2x+1)\log_2(-\sin x)=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-\pi,~\frac{3\pi}{2}\right]$.
Ответ: б) $\pm\pi+\text{arctg}\,2$, $-\pi/2$, $-\pi/4$, $3\pi/2$
20. 772. а) Решить уравнение: $(4\sin2x+2\cos2x+4)\log_2(-\cos x)=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-\pi,~2\pi\right]$.
Ответ: $\pm\pi$, $\pi-\text{arctg}\,3$, $3\pi/4$
21. 773. а) Решить уравнение: $(2\sqrt3\sin2x-6\cos2x)\log_2(\sin x)=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-2\pi,~\pi\right]$.
Ответ: $-11\pi/6$, $-3\pi/2$, $-4\pi/3$, $\pi/6$, $\pi/2$, $2\pi/3$
22. 774. а) Решить уравнение: $(3\sin2x-\cos2x-3)\log_2(\cos x)=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-2\pi,~\pi\right]$.
Ответ: $\pm2\pi$, $-7\pi/4$, $-2\pi+\text{arctg}\,2$, $0$, $\pi/4$, $\text{arctg}\,2$,
23. 775. а) Решить уравнение: $\displaystyle\frac{3\cos2x+\cos x+2}{2\sin x-\sqrt3}=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-2\pi,~2\pi\right]$.
Ответ: $\displaystyle -2\pi+\text{arccos}\,\frac13$, $-2\pi/3$, $\displaystyle\pm\text{arccos}\frac13$, $4\pi/3$, $\displaystyle 2\pi-\text{arccos}\,\frac13$
24. 776. а) Решить уравнение: $\displaystyle\frac{3\cos2x-\cos x+2}{2\sin x-\sqrt3}=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-2\pi,~2\pi\right]$.
Ответ: $\displaystyle-\pi\pm\text{arccos}\frac13$, $\displaystyle\pi\pm\text{arccos}\frac13$, $-\pi/3$, $5\pi/3$
25. 777. а) Решить уравнение: $\displaystyle\frac{3\cos2x-\sin x-1}{2\cos x-\sqrt3}=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-2\pi,~\pi\right]$.
Ответ: $-7\pi/6$, $\displaystyle-\pi+\text{arcsin}\frac23$, $\displaystyle-\text{arcsin}\frac23$, $5\pi/6$
26. 778. а) Решить уравнение: $\displaystyle\frac{\cos2x+\sin x}{2\cos x+\sqrt3}=0$.
б) Найти корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[-\frac{5\pi}{2},~\frac{\pi}{2}\right]$.
Ответ: $-13\pi/6$, $-3\pi/2$, $-\pi/6$, $\pi/2$, $11\pi/6$, $5\pi/2$
27. 779. Решить уравнение: $\displaystyle \log_2x\cdot\log_2(x+5)+\log_2\frac{(x+5)^3}{x^2}=6$
Ответ: $\frac18$
28. 780. Решить уравнение: $\displaystyle \log_2x\cdot\log_2(x+2)-2=\log_2\frac{x}{(x+2)^2}$
Ответ: $\frac14$
29. 781. Решить уравнение: $\displaystyle \log_2x\cdot\log_2(x+10)=\log_2\frac{64x^3}{(x+10)^2}$
Ответ: $\frac14$
30. 782. Решить уравнение: $\displaystyle\log_2 x\cdot\log_2(x+8)=\log_2\frac{8x^3}{x+8}$
Ответ: $\frac12$