1. 813. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^4-20x^3+48x^2-48x$.
Ответ: Критические точки: 1 (точка минимума) и 2. Функция убывает на $(-\infty,1]$, возрастает на $[1,+\infty)$.
2. 814. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^4-4x^3-6x^2+12x$.
Ответ: Критические точки: $-1$ (точка минимума) и 1. Функция убывает на $(-\infty,-1]$, возрастает на $[-1,+\infty)$.
3. 815. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^4+4x^3-6x^2-12x$.
Ответ: Критические точки: $-1$ и 1 (точка минимума). Функция убывает на $(-\infty,1]$, возрастает на $[1,+\infty)$.
4. 816. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^4-6x^2+8x$.
Ответ: Критические точки: $-2$ (точка минимума) и 1. Функция убывает на $(-\infty,-2]$, возрастает на $[-2,+\infty)$.
5. 817. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+2x-2)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-2]$ и на $[2,\infty)$; возрастает на $[-2,2]$.
6. 818. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+3x+3)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-1]$ и на $[0,\infty)$; возрастает на $[-1,0]$.
7. 819. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+4x+4)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-2]$ и на $[0,\infty)$; возрастает на $[-2,0]$.
8. 820. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+4x+1)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-3]$ и на $[1,\infty)$; возрастает на $[-3,1]$.
9. 821. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=8x^5+15x^4-40x^3-130x^2-120x$.
Ответ: Критические точки: −3/2 (точка максимума), −1 и 2 (точка минимума). Функция возрастает на (−∞,−3/2] и на [2,+∞); убывает на [−3/2,2].
10. 822. Исследовать функцию $y=(x^2-4)^2$ и построить её график.
11. 823. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3-3x^2-36x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−2] и на [3,+∞); убывает на [−2,3].
12. 824. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3+3x^2-36x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [2,+∞); убывает на [−3,2].
13. 825. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3+3x^2-12x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−2] и на [1,+∞); убывает на [−2,1].
14. 826. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^3+3x^2-9x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [1,+∞); убывает на [−3,1].
15. 827. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3-9x^2-60x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−2] и на [5,+∞); убывает на [−2,5].
16. 828. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^3-6x^2-15x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−1] и на [5,+∞); убывает на [−1,5].
17. 829. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^3-3x^2-45x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [5,+∞); убывает на [−3,5].
18. 830. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3-3x^2-72x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [4,+∞); убывает на [−3,4].
19. 831. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~-1)$, $B(-1,~4)$ и $C(5,~0)$ найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$.
Ответ: 5
20. 832. В трапеции $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-3)$, $B(4,~-1)$ и $C(2,~3)$ основание $AB$ в два раза больше основания $CD$. Найти координаты вершины $D$ трапеции.
Ответ: $D(-1,~2)$
21. 833. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-4,~-2)$ и $B(-2,~7)$ пересекаются в точке $O(1,~2)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Ответ: $C(9,~1)$
22. 834. Окружность с центром в точке $O(4,~1)$ проходит через точку $M(1,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.
Ответ: а) $(x-4)^2+(y-1)^2=25$. б) $(0,~4)$ и $(0,~-2)$
23. 835. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &(x-3)^2+(y-2)^2=25, \\ &\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10. \end{aligned}\right.$$
Ответ: $(7,~-1)$, $(-1, 5)$
24. 836. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~-4)$, $B(-3,~2)$ и $C(7,~4)$ найти длину отрезка, соединяющего середины сторон $AB$ и $BC$.
Ответ: 5
25. 837. В трапеции $ABCD$ заданы координаты двух вершин при основании: $A(2,~4)$ и $B(8,~3)$. Точка $M(3,~1)$ — середина боковой стороны $AD$ трапеции. Основание $CD$ трапеции в два раза больше основания $AB$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.
Ответ: $C(16,~-4)$, $D(4,~-2)$
26. 838. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(2,~-2)$ и $B(1,~4)$ пересекаются в точке $O(4,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Ответ: $C(9,~1)$
27. 839. $A(-6,~-1)$ и $B(-2,~5)$ — две диаметрально противоположные точки окружности.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс.
Ответ: а) $(x+4)^2+(y-2)^2=13$; б) $(-7,~0)$, $(-1,~0)$
28. 840. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=5, \\ &\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10. \end{aligned}\right.$$
Ответ: $(3,~2)$
29. 841. Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~1)$, $B(-1,~5)$ и $C(7,~-1)$ — прямоугольный с прямым углом $B$.
30. 842. В параллелограмме $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-4,~-2)$ и $B(4,~-4)$. Точка $O(1,~0)$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Найти координаты двух других вершин параллелограмма.
Ответ: $C(6,~2)$, $D(-2,~4)$