1. 831. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~-1)$, $B(-1,~4)$ и $C(5,~0)$ найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$.

Ответ: 5

2. 832. В трапеции $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-3)$, $B(4,~-1)$ и $C(2,~3)$ основание $AB$ в два раза больше основания $CD$. Найти координаты вершины $D$ трапеции.

Ответ: $D(-1,~2)$

3. 833. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-4,~-2)$ и $B(-2,~7)$ пересекаются в точке $O(1,~2)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

Ответ: $C(9,~1)$

4. 834. Окружность с центром в точке $O(4,~1)$ проходит через точку $M(1,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.

Ответ: а) $(x-4)^2+(y-1)^2=25$. б) $(0,~4)$ и $(0,~-2)$

5. 835. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &(x-3)^2+(y-2)^2=25, \\ &\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(7,~-1)$, $(-1, 5)$

6. 836. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~-4)$, $B(-3,~2)$ и $C(7,~4)$ найти длину отрезка, соединяющего середины сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: 5

7. 837. В трапеции $ABCD$ заданы координаты двух вершин при основании: $A(2,~4)$ и $B(8,~3)$. Точка $M(3,~1)$ — середина боковой стороны $AD$ трапеции. Основание $CD$ трапеции в два раза больше основания $AB$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.

Ответ: $C(16,~-4)$, $D(4,~-2)$

8. 838. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(2,~-2)$ и $B(1,~4)$ пересекаются в точке $O(4,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

Ответ: $C(9,~1)$

9. 839. $A(-6,~-1)$ и $B(-2,~5)$ — две диаметрально противоположные точки окружности.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс.

Ответ: а) $(x+4)^2+(y-2)^2=13$; б) $(-7,~0)$, $(-1,~0)$

10. 840. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=5, \\ &\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(3,~2)$

11. 841. Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~1)$, $B(-1,~5)$ и $C(7,~-1)$ — прямоугольный с прямым углом $B$.

12. 842. В параллелограмме $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-4,~-2)$ и $B(4,~-4)$. Точка $O(1,~0)$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Найти координаты двух других вершин параллелограмма.

Ответ: $C(6,~2)$, $D(-2,~4)$

13. 843. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~2)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~0)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

Ответ: $C(9,~1)$

14. 844. Вокруг треугольника с вершинами в точках $A(-6,~2)$, $B(-6,~6)$ и $C(2,~6)$ описана окружность.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с координатными осями.

Ответ: $(x+2)^2+(y-4)^4=20$, $(-4,~0)$, $(0,~0)$, $(0,~8)$

15. 845. Графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &x^2+y^2-6x-2y=3 \\ &x^2+y^2-6x-6y=7. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(0,~-1)$, $(6,~-1)$

16. 846. Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(2,~-3)$, $B(-4,~5)$ и $C(4,~-1)$ — равнобедренный с основанием $AC$.

17. 847. В квадрате $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-1,~-3)$ и $B(4,~2)$. Точка $M(1{,}5,~4{,}5)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты двух других вершин квадрата.

Ответ: $C(-1,~7)$, $D(-6,~2)$

18. 848. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~5)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

Ответ: $C(9,~1)$

19. 849. Вокруг прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ описана окружность. Координаты вершин: $A(-2,~1)$, $C(6,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.

Ответ: $(x-2)^2+(y-3)^2=20$; $(0,~-1)$, $(0,~7)$

20. 850. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=5, \\ &x^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{25}{4}. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(-2,~1)$, $(2,~4)$

21. 851. Доказать, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-1,~-2)$, $B(3,~-3)$ и $C(1,~6)$ является прямоугольным.

22. 852. Доказать, что четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-2)$, $B(3,~-7)$, $C(4,~0)$ и $D(-1,~5)$ является параллелограммом. Является ли этот четырехугольник ромбом? Квадратом? Обоснуйте ответ.

Ответ: Ромбом является. Квадратом — нет

23. 853. Точки $A(2,~-5)$ и $B(7,~-4)$ — вершины параллелограмма $ABCD$. На его диагонали $BD$ взята точка $M(6,~-2)$ так, что $DM=3\cdot BM$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.

Ответ: $C(8,~5)$, $D(3,~4)$

24. 854. Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты вершины $C$ треугольника и координаты точки $O$ пересечения медиан треугольника.

Ответ: $C(11,~1)$, $O(4,~2)$

25. 855. Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $AP \bot BC$. Найдите площадь треугольника.

Ответ: 45

26. 856. Написать уравнение окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~5)$, $B(0,~-1)$ и $C(12,~3)$. Найти координаты точек пересечения этой окружности с осью ординат.

Ответ: $(x-5)^2+(y-4)^2=50$; $(0,~-1)$, $(0,~9)$

27. 857. Точки $A(-1,~-2)$ и $B(-5,~6)$ — диаметрально противоположные точки некоторой окружности $\omega$. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(7,~7)$, касающейся окружности $\omega$ внешним образом.

Ответ: $(x-7)^2+(y-7)^2=45$

28. 858. Графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &x^2-4x+y^2-2y=0, \\ &x^2+8x+y^2-8y+12=0. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(0,~2)$

29. 859. Найти площадь ромба $ABCD$ с вершинами в точках $A(-1,~1)$, $B(4,~-4)$, $C(3,~3)$ и $D(-2,~8)$.

Ответ: 30

30. 860. В треугольнике $ABC$ с вершиной в точке $B(-4,~7)$ проведена средняя линия $MN$, параллельная стороне $AC$; $\displaystyle M\left(-\frac52,~1\right)$, $\displaystyle N\left(\frac12,~5\right)$. Найти медиану треугольника, проведенную из вершины $B$.

Ответ: 10