1. 934. На прямой $3x-2y+2=0$ найти точки, удаленные от точки $K(0,~1)$ на расстояние, равное $2\sqrt{13}$.

Ответ: $(4,~7)$ и $(-4,~-5)$

2. 935. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ проведена медиана $CK$. Координаты вершин: $A(-3,~3)$, $B(3,~-1)$. Найти координаты вершины $C$, если $AC=BC=\sqrt{65}$.

3. 936. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ заданы координаты трех вершин: $A(-3,~-5)$, $B(3,~-3)$ и $C(9,~9)$. Найти координаты четвертой вершины. Указание. Прямая, соединяющая середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям.

Ответ: $D(-15,~1)$

4. 937. Написать уравнение биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~2)$, $B(1,~6)$ и $C(3,~-10)$. Найти координаты точки $L$.

Ответ: $x+8y-14=0$; $\displaystyle L\left(\frac{14}{9},~\frac{14}{9}\right)$

5. 938. Точки $K(-6,~1)$, $L(4,~7)$, $M(6,~-2)$ и $N(-3,~-4)$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Найти площадь квадрата $ABCD$.

Ответ: $153$

6. 939. Написать уравнения прямых, проходящих через точку $M(-6,~-3)$ и удаленных от начала координат на расстояние, равное $3$. Найти тангенс угла между этими прямыми.

Ответ: $y=-3$, $4x-3y+15=0$, $\text{tg}\,\alpha=4/3$

7. 940. На стороне $AB$ угла $BAC=30^{\circ}$ взяты точки $M$ и $N$ на расстоянии $2$ и $6$ от вершины $A$. Найти радиус окружности, проходящей через точки $M$, $N$ и касающейся стороны $AC$.

Ответ: 2

8. 941. Дан квадрат $ABCD$, сторона которого равна $4\sqrt2$. Точка $O$ выбрана в плоскости квадрата так, что $OB=10$, $OD=6$. Найти косинус угла между вектором $OB$ и вектором, направленным из точки $O$ в наиболее удаленную от нее вершину квадрата.

Ответ: $\displaystyle\frac{23}{5\sqrt{29}}$

9. 943. На катетах $AC=1$ и $BC=4$ прямоугольного треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены квадраты $ACEF$ и $BCGH$. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает отрезок $EG$ в точке $N$. Найти $CN$.

Ответ: $4/\sqrt{17}$

10. 945. Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=24$ и $BD=10$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{5\sqrt2}{2}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$, касается этой окружности и пересекает прямую $CD$ в точке $M$. Найдите $CM$.

Ответ: $91/17$, $221/7$

11. 946. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ втрое длиннее стороны $BC$. Внутри прямоугольника лежит точка $N$, причем $AN=\sqrt2$, $BN=4\sqrt2$, $DN=2$. Найти угол $BAN$ и площадь прямоугольника $ABCD$.

Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{7}{\sqrt{65}}$; $\displaystyle\frac{78}{5}$

12. 947. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ вдвое длиннее стороны $AB$. Внутри прямоугольника расположена точка $M$, причем $AM=\sqrt2$, $BM=2$, $CM=6$. Найти угол $ABM$ и площадь прямоугольника $ABCD$.

Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$; $20$

13. 948. В прямоугольном треугольнике $ABC$ длины катетов равны $6$ и $8$. Прямая $AD$ делит сторону $BC$ в отношении $BD:DC=4:5$. Найти угол между прямыми $AB$ и $AD$.

Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$

14. 949. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=8$) точка $E$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$. Найти угол между прямыми $CE$ и $CA$, если $AC=12$.

Ответ: $\displaystyle\frac{3\sqrt7}{8}$

15. 950. Точка $K$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$, а точка $M$ лежит на диагонали $AC$, причем $AM:MC=3:1$. Докажите, что угол $KMD$ прямой.

16. 951. В прямоугольнике $ABCD$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ прямой.

17. 953. Дан треугольник $ABC$. На его сторонах $AB$ и $BC$ построены внешним образом квадраты $ABMN$ и $BCPQ$. Докажите, из середины отрезка $NP$ сторона $AC$ видна под прямым углом.

18. 954. Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.

19. 955. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=AC$), $D$ — середина стороны $AB$, а $E$ — точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что $OE \perp CD$.

20. 956. Даны точки $A(2;4)$, $B(6;-4)$ и $C(-8;-1)$. Найдите косинус угла между медианами $CM$ и $AK$ треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{17}{\sqrt{1189}}$

21. 957. Даны точки $A(-2;0)$, $B(1;6)$ и $C(5;4)$. Найдите косинус угла между медианами $AM$ и $CN$ треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{13}{5\sqrt{10}}$

22. 958. Из точки $M(-1;3)$ проведены касательные к окружности $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точек касания.

Ответ: $(-1;-3)$; $\displaystyle\left (\frac{13}{5}; -\frac{9}{5}\right )$

23. 959. Из точки $P(1;3)$ проведена касательная к окружности $(x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точки касания.

Ответ: $(1;-3)$; $\left (-\frac{13}{5}; -\frac{9}{5}\right )$

24. 960. Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AC=3$ и $BC=4$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ABC$, пересекает продолжение стороны $AC$ треугольника в точке $K$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ACB$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $BAC$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $L$. Доказать, что $KL=LM$.

25. 961. Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.

Ответ: 1

26. 962. В плоскости равностороннего треугольника через его центр проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.

27. 963. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ на отрезке $[-2,1]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Ответ: $\displaystyle\max_{[-2,1]}f(x)=f(-1)=7$, $\displaystyle\min_{[-2,1]}f(x)=f(1)=-13$.

28. 964. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^3-3x^2-9x$ на отрезке $[-2,1]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Ответ: $\displaystyle\max_{[-2,1]}f(x)=f(-1)=5$, $\displaystyle\min_{[-2,1]}f(x)=f(1)=-11$.

29. 965. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=2x^3+9x^2-24x$ на отрезке $[0,2]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Ответ: $\displaystyle\max_{[0,2]}f(x)=f(2)=4$, $\displaystyle\min_{[0,2]}f(x)=f(1)=-13$.

30. 966. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^3-6x^2+9x$ на отрезке $[0,4]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

Ответ: $\displaystyle\max_{[0,4]}f(x)=f(1)=f(4)=4$, $\displaystyle\min_{[0,4]}f(x)=f(0)=f(3)=0$.