1. 934. На прямой $3x-2y+2=0$ найти точки, удаленные от точки $K(0,~1)$ на расстояние, равное $2\sqrt{13}$.
Ответ: $(4,~7)$ и $(-4,~-5)$
2. 935. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ проведена медиана $CK$. Координаты вершин: $A(-3,~3)$, $B(3,~-1)$. Найти координаты вершины $C$, если $AC=BC=\sqrt{65}$.
3. 936. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ заданы координаты трех вершин: $A(-3,~-5)$, $B(3,~-3)$ и $C(9,~9)$. Найти координаты четвертой вершины. Указание. Прямая, соединяющая середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям.
Ответ: $D(-15,~1)$
4. 937. Написать уравнение биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~2)$, $B(1,~6)$ и $C(3,~-10)$. Найти координаты точки $L$.
Ответ: $x+8y-14=0$; $\displaystyle L\left(\frac{14}{9},~\frac{14}{9}\right)$
5. 938. Точки $K(-6,~1)$, $L(4,~7)$, $M(6,~-2)$ и $N(-3,~-4)$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Найти площадь квадрата $ABCD$.
Решение. Пусть прямая, на которой лежит сторона $BC$ квадрата, имеет угловой коэффициент наклона $k$. Так как она проходит через точку $L(4,~7)$, ее уравнение запишем в виде $y=kx-4k+7$ или, что то же самое, $kx-y-4k+7=0$. Так как прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BC$, ее угловой коэффициент наклона равен $-\frac1k$. Эта прямая проходит через точку $M(6,~-2)$, и ее уравнение запишется в виде $y=-\frac{x}{k}+\frac{6}{k}-2$, откуда $x+ky+2k-6=0$.
Теперь найдем расстояние $d_1$ от точки $K(-6,~1)$ до прямой $CD$ с уравнением $x+ky+2k-6=0$ и расстояние $d_2$ от точки $N(-3,~-4)$ до прямой $BC$ с уравнением $kx-y-4k+7=0$:
$$\begin{aligned}
d_1=&\frac{|-6+k\cdot1+2k-6|}{\sqrt{1+k^2}}, \\
d_2=&\frac{|k\cdot(-3)-(-4)-4k+7|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}.
\end{aligned}$$
Приравняв $d_1$ и $d_2$, получим уравнение $|3k-12|=|11-7k|$, откуда $\displaystyle k=-\frac14$ или $k=2{,}3$.
Осталось подставить найденное $\displaystyle k=-\frac14$ в выражение для $d_1$ (или для $d_2$): $$d_1=\frac{\left|3\cdot\left(-\frac14\right)-12\right|}{\sqrt{1+\left(\frac14\right)^2}}=3\sqrt{17}.$$ Площадь квадрата со стороной $3\sqrt{17}$ равна $(3\sqrt{17})^2=153$.
Замечание. При $k=-1/4$ действительно получается квадрат с вершинами в точках $A(-7,~-3)$, $B(-4,~9)$, $C(8,~6)$ и $D(5,~-6)$. Выясните, каков геометрический смысл второго корня: $k=2{,}3$.
Ответ: $153$
6. 939. Написать уравнения прямых, проходящих через точку $M(-6,~-3)$ и удаленных от начала координат на расстояние, равное $3$. Найти тангенс угла между этими прямыми.
Решение. Будем искать уравнения этих прямых в виде $y=kx+b$. Так как прямые проходят через точку $M(-6,~-3)$, легко найти (выразить через $k$) коэффициент $b$; при этом получим прямые вида $y=kx+6k-3 \Leftrightarrow kx-y+6k-3$. Уравнение на $k$ составим, воспользовавшись известной формулой для расстояния от точки до прямой: по условию задачи расстояние от точки $(0,~0)$ до прямой $kx-y+6k-3=0$ равно $3$. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $y=-3$, $4x-3y+15=0$, $\text{tg}\,\alpha=4/3$
7. 940. На стороне $AB$ угла $BAC=30^{\circ}$ взяты точки $M$ и $N$ на расстоянии $2$ и $6$ от вершины $A$. Найти радиус окружности, проходящей через точки $M$, $N$ и касающейся стороны $AC$.
Ответ: 2
8. 941. Дан квадрат $ABCD$, сторона которого равна $4\sqrt2$. Точка $O$ выбрана в плоскости квадрата так, что $OB=10$, $OD=6$. Найти косинус угла между вектором $OB$ и вектором, направленным из точки $O$ в наиболее удаленную от нее вершину квадрата.
Ответ: $\displaystyle\frac{23}{5\sqrt{29}}$
9. 943. На катетах $AC=1$ и $BC=4$ прямоугольного треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены квадраты $ACEF$ и $BCGH$. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает отрезок $EG$ в точке $N$. Найти $CN$.
Ответ: $4/\sqrt{17}$
10. 945. Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=24$ и $BD=10$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{5\sqrt2}{2}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$, касается этой окружности и пересекает прямую $CD$ в точке $M$. Найдите $CM$.
Ответ: $91/17$, $221/7$
11. 946. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ втрое длиннее стороны $BC$. Внутри прямоугольника лежит точка $N$, причем $AN=\sqrt2$, $BN=4\sqrt2$, $DN=2$. Найти угол $BAN$ и площадь прямоугольника $ABCD$.
Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{7}{\sqrt{65}}$; $\displaystyle\frac{78}{5}$
12. 947. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ вдвое длиннее стороны $AB$. Внутри прямоугольника расположена точка $M$, причем $AM=\sqrt2$, $BM=2$, $CM=6$. Найти угол $ABM$ и площадь прямоугольника $ABCD$.
Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$; $20$
13. 948. В прямоугольном треугольнике $ABC$ длины катетов равны $6$ и $8$. Прямая $AD$ делит сторону $BC$ в отношении $BD:DC=4:5$. Найти угол между прямыми $AB$ и $AD$.
Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$
14. 949. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=8$) точка $E$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$. Найти угол между прямыми $CE$ и $CA$, если $AC=12$.
Ответ: $\displaystyle\frac{3\sqrt7}{8}$
15. 950. Точка $K$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$, а точка $M$ лежит на диагонали $AC$, причем $AM:MC=3:1$. Докажите, что угол $KMD$ прямой.
16. 951. В прямоугольнике $ABCD$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ прямой.
17. 953. Дан треугольник $ABC$. На его сторонах $AB$ и $BC$ построены внешним образом квадраты $ABMN$ и $BCPQ$. Докажите, из середины отрезка $NP$ сторона $AC$ видна под прямым углом.
18. 954. Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
19. 955. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=AC$), $D$ — середина стороны $AB$, а $E$ — точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что $OE \perp CD$.
20. 956. Даны точки $A(2;4)$, $B(6;-4)$ и $C(-8;-1)$. Найдите косинус угла между медианами $CM$ и $AK$ треугольника $ABC$.
Ответ: $\frac{17}{\sqrt{1189}}$
21. 957. Даны точки $A(-2;0)$, $B(1;6)$ и $C(5;4)$. Найдите косинус угла между медианами $AM$ и $CN$ треугольника $ABC$.
Ответ: $\frac{13}{5\sqrt{10}}$
22. 958. Из точки $M(-1;3)$ проведены касательные к окружности $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точек касания.
Ответ: $(-1;-3)$; $\displaystyle\left (\frac{13}{5}; -\frac{9}{5}\right )$
23. 959. Из точки $P(1;3)$ проведена касательная к окружности $(x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точки касания.
Ответ: $(1;-3)$; $\left (-\frac{13}{5}; -\frac{9}{5}\right )$
24. 960. Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AC=3$ и $BC=4$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ABC$, пересекает продолжение стороны $AC$ треугольника в точке $K$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ACB$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $BAC$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $L$. Доказать, что $KL=LM$.
25. 961. Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.
Решение. Если начало системы координат совместить с центром квадрата, а координатные оси направить вдоль сторон квадрата, то уравнение прямой, проходящей через центр квадрата, запишется в виде $Ax+By=0$ для произвольных $A$ и $B$. Расстояния от вершин квадрата до этой прямой вычисляются известным образом. Например, расстояние от точки $\displaystyle\left(\frac12,~\frac12\right)$ до данной прямой равно $\displaystyle d_1=\frac{\left|\frac12A+\frac12B\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, а квадрат этого расстояния равен $$d_1^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4(a^2+b^2)}.$$ Закончите решение самостоятельно: вычислите квадраты трёх других расстояний и нужную сумму.
Ответ: 1
26. 962. В плоскости равностороннего треугольника через его центр проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
27. 963. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ на отрезке $[-2,1]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[-2,1]}f(x)=f(-1)=7$, $\displaystyle\min_{[-2,1]}f(x)=f(1)=-13$.
28. 964. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^3-3x^2-9x$ на отрезке $[-2,1]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[-2,1]}f(x)=f(-1)=5$, $\displaystyle\min_{[-2,1]}f(x)=f(1)=-11$.
29. 965. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=2x^3+9x^2-24x$ на отрезке $[0,2]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[0,2]}f(x)=f(2)=4$, $\displaystyle\min_{[0,2]}f(x)=f(1)=-13$.
30. 966. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^3-6x^2+9x$ на отрезке $[0,4]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[0,4]}f(x)=f(1)=f(4)=4$, $\displaystyle\min_{[0,4]}f(x)=f(0)=f(3)=0$.