1. 996. Охарактеризуйте взаимное положение прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{5}$ и плоскости $2x+y-2z=5$.
Решение. Направляющий вектор прямой $\vec l=(3,~4,~5)$ и нормальный вектор плоскости $\vec n=(2,~1,~-2)$ ортогональны, так как их скалярное произведение равно $\vec l \vec n=3\cdot2+4\cdot1+5\cdot(-2)=0$. Следовательно, прямая параллельная плоскости.
Ответ: Прямая параллельна плоскости
2. 997. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(3,~-2,~5)$ перпендикулярно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{5}$.
Ответ: $3x+4y+5z=26$
3. 998. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M(3,~-2,~5)$ перпендикулярно плоскости $x-y+2z+5=0$.
Ответ: $\displaystyle x-3=-y-2=\frac{z-5}{2}$
4. 1001. Найти координаты точки пересечения прямой $x=2t-1$, $y=1-t$, $z=3t+1$ с плоскостью $2x+3y-2z+11=0$.
Решение. Подставив данные параметрические выражения для прямой в уравнение плоскости, получим уравнение относительно $t$: $$2(2t-1)+3(1-t)-2(3t+1)+11=0,$$ решив которое, найдем $t=2$. Подставив найденное $t=2$ в уравнения прямой, получим координаты точки пересечения.
Ответ: $(3,~-1,~7)$
5. 1002. Найти координаты точки пересечения прямой $\displaystyle\frac{x-7}{5}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{4}$ с плоскостью $3x-y+2z-5=0$.
Ответ: $(2,~3,~1)$
6. 1003. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1,~-1,~1)$, $B(-2,~1,~3)$ и $C(4,~-5,~-2)$
Решение. Найдем нормальный вектор плоскости как вектор, ортогональный векторам $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, лежащим в этой плоскости. Для этого найдем их векторное произведение: $$\vec n=\overline{AB}\times\overline{AC} = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ -2-1 & 1-(-1) & 3-1 \\ 4-1 & -5-(-1) & -2-1 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ -3 & 2 & 2 \\ 3 & -4 & -3 \\ \end{vmatrix}=2\vec\imath-3\vec\jmath+6\vec k.$$ Осталось составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1,~-1,~1)$ перпендикулярно вектору $\vec n=(2,~-3,~6)$: $$2(x-1)+(-3)(y-(-1))+6(z-1)=0,$$ откуда, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим общее уравнение плоскости: $2x-3y+6z-11=0$.
Ответ: $2x-3y+6z-11=0$
7. 1199. Точки $A(-2, 2, 3)$, $B(2, 4, 5)$ и $C(2, 0, 1)$ расположены на окружности основания прямого кругового конуса высотой $4\sqrt2$. Найти объём конуса и координаты его вершины.
Ответ: $V=12\sqrt2\pi$; $S_1(1, 6, -1)$, $S_2(1, -2, 7)$.
8. 1200. Точки $A(-2, 2, 3)$, $B(3, 3, 1)$ и $C(3, 1, 5)$ расположены на окружности основания прямого кругового конуса высотой $3\sqrt5$. Найти объём конуса и координаты его вершины.
Ответ: $V=9\sqrt5$; $S_1(1, 8, 6)$, $S_2(1, -4, 0)$.
9. 1201. Точки $A(-1, 1, 1)$, $B(-1, 3, 5)$, $C(3, 3, 5)$ и $D$ являются вершинами основания четырехугольной пирамиды $ABCDS$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$, а вершина $S$ пирамиды проецируется в точку пересечения его диагоналей. Высота пирамиды равна $2\sqrt5$. Найти координаты вершин $D$ и $S$ пирамиды, а также её объём.
Ответ: $D(3, 1, 1)$, $S_1(1, 6, 1)$, $S_2(1, -2, 5)$. $V=80/3$.