1. 997. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(3,~-2,~5)$ перпендикулярно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{5}$.
Ответ: $3x+4y+5z=26$
2. 998. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M(3,~-2,~5)$ перпендикулярно плоскости $x-y+2z+5=0$.
Ответ: $\displaystyle x-3=-y-2=\frac{z-5}{2}$
3. 999. Найти угол между прямой $\displaystyle\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{0}$ и плоскостью $x-2y-z-3=0$.
Решение. Найдем угол между направляющим вектором этой прямой $\vec l=(1,~-1,~0)$ и нормальным вектором плоскости $\vec n=(1,~-2,~-1)$:
$$\cos \varphi=\frac{\vec l \, \vec n}{|\vec l|\,|\vec n|}=\frac{1\cdot1+(-1)\cdot(-2)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt2\cdot\sqrt6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $\varphi=30^\circ$. Угол, дополняющий $\varphi$ до $90^\circ$, и будем искомым углом между прямой и плоскостью.
Ответ: 60°
4. 1000. Найти угол между прямой $\displaystyle\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ и плоскостью $x+3y+2z+5=0$.
Ответ: 30°
5. 1001. Найти координаты точки пересечения прямой $x=2t-1$, $y=1-t$, $z=3t+1$ с плоскостью $2x+3y-2z+11=0$.
Решение. Подставив данные параметрические выражения для прямой в уравнение плоскости, получим уравнение относительно $t$:
$$2(2t-1)+3(1-t)-2(3t+1)+11=0,$$
решив которое, найдем $t=2$. Подставив найденное $t=2$ в уравнения прямой, получим координаты точки пересечения.
Ответ: $(3,~-1,~7)$
6. 1002. Найти координаты точки пересечения прямой $\displaystyle\frac{x-7}{5}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{4}$ с плоскостью $3x-y+2z-5=0$.
Ответ: $(2,~3,~1)$
7. 1003. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1,~-1,~1)$, $B(-2,~1,~3)$ и $C(4,~-5,~-2)$
Решение. Найдем нормальный вектор плоскости как вектор, ортогональный векторам $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, лежащим в этой плоскости. Для этого найдем их векторное произведение:
$$\vec n=\overline{AB}\times\overline{AC} = \begin{vmatrix}
\vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\
-2-1 & 1-(-1) & 3-1 \\
4-1 & -5-(-1) & -2-1 \\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\
-3 & 2 & 2 \\
3 & -4 & -3 \\
\end{vmatrix}=2\vec\imath-3\vec\jmath+6\vec k.$$
Осталось составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1,~-1,~1)$ перпендикулярно вектору $\vec n=(2,~-3,~6)$:
$$2(x-1)+(-3)(y-(-1))+6(z-1)=0,$$
откуда, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим общее уравнение плоскости: $2x-3y+6z-11=0$.
Ответ: $2x-3y+6z-11=0$
8. 1004. Найти расстояние от точки $M(-1,~1,~-2)$ до плоскости $2x-3y+6z=11$.
Ответ: 4
9. 1005. Найти высоту треугольной пирамиды $ABCS$ с вершинами в точках $A(-1,~4,~4)$, $B(2,~-2,~-2)$, $C(1,~4,~2)$, $S(1,~-2,~-4)$.
Ответ: 2
10. 1006. Составить уравнения высоты $BD$ треугольника с вершинами $A(-2,~0,~1)$, $B(4,~-1,~4)$ и $C(7,~-3,~4)$.
Решение. Составим сперва параметрические уравнения прямой $AC$, на которую падает искомая высота. В качестве направляющего вектора прямой $AC$ можно взять какой-нибудь вектор, коллинеарный вектору $\overline{AC}=(7-(-2),~-3-0,~4-1)=(9,~-3,~3)$. К примеру, таковым является вектор $l=(3,~-1,~1)$. Теперь составим уравнения прямой $AC$, проходящей через точку $A(-2,~0,~1)$ параллельно вектору $l=(3,~-1,~1)$:
$$
\begin{aligned}
&x = -2+3t, \\
&y = -t, \\
&z = 1+t. \\
\end{aligned}
$$
Найдем теперь на прямой $AC$ найти такую $D$, что $BD \bot \vec l$. Так как $D\in AC$, то будем искать координаты точки $D$ в виде $D(-2+3t,~-t,~1+t)$. Тогда $\overline{BD}=(-2+3t-4,~-t-(-1),~1+t-4)=(3t-6,~1-t,~t-3)$. Так как векторы $BD$ и $\vec l$ ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Составим соответствующее уравнение:
$$\overline{BD}\cdot\vec l=3(3t-6)+(-1)(1-t)+(t-3)=11t-22=0,$$ откуда $t=2$. При $t=2$ точка $D$ имеет координаты $D(4,~-2,~3)$.
Осталось составить уравнение прямой $BD$, проходящей через точки $B(4,~-1,~4)$ и $D(4,~-2,~3)$. Самостоятельно закончите решение задачи.
Ответ: $\displaystyle \frac{x-4}{0}=y+1=z-4$
11. 1007. Найти расстояние от точки $A(2,~3,~-1)$ до прямой $x=1+t$, $y=2+t$, $z=13+4t$.
Ответ: 6
12. 1008. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $$\displaystyle\frac{x+7}{3}=\frac{y+4}{4}=\frac{z+3}{-2}\quad\text{и}\quad\displaystyle\frac{x-21}{6}=\frac{y+5}{-4}=\frac{z-2}{-1}.$$
Решение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Чтобы составить уравнение одной из таких плоскостей, найдем её нормальный вектор, для чего вычислим векторное произведение направляющих векторов данных прямых:
$$
\begin{vmatrix}
\vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\
3 & 4 & -2 \\
6 & -4 & -1 \\
\end{vmatrix}=-12\vec\imath-9\vec\jmath-36\vec k.
$$
В качестве нормального вектора искомой плоскости возьмем вектор $\vec n=(4,~3,~12)$, коллинеарный найденному $\overline{(-12,~-9,~-36)}$. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку $A(-7,~-4,~-3)$ (эта точка лежит на первой прямой из условия задачи) перпендикулярно вектору $\vec n=(4,~3,~12)$: $$4(x-(-7))+3(y-(-4)+12(z-(-3))=0,$$ откуда $4x+3y+12z+76=0$. Плоскость, уравнение которой мы составили, содержит первую прямую и параллельна второй.
Осталось найти расстояние от точки $B(21,~-5,~2)$ (эта точка лежит на второй прямой из условия задачи) до плоскости $4x+3y+12z+76=0$. Самостоятельно закончите решение задачи.
Ответ: 13
13. 1009. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+5}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-1}{-2}$ и $\displaystyle\frac{x-9}{6}=\frac{y}{-2}=\frac{z-2}{-1}$.
Ответ: 7
14. 1010. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(-4;~3;~0)$, $B(-1;~-1;~\sqrt3)$ и $C(-7;~1;~2\sqrt3)$.
Найти расстояние от точки $M(3;~7;~4\sqrt3)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.
Ответ: $2x+3y+2\sqrt3z-1=0$; 10; $O(-1;~1;~0)$
15. 1011. Даны четыре точки: $A(5a;~a;~1)$, $B(2a;~3a;~4)$, $C(2a;~a;~2)$, $D(a;~1;~-3)$. Найти все значения $a$, при которых векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ ортогональны.
Ответ: $-5$, $3$
16. 1012. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(9;~0;~-11)$, $B(-12;~5;~-3)$ и $C(15;~5;~-9)$.
Найти расстояние от точки $M(5;~-2;~2)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.
Ответ: $2x-6y+9z+81=0$; 11; $O(3;~4;~-7)$
17. 1013. Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec a=(5-\alpha,~-1,~\alpha)$, $\vec b=(-5,~4,~\alpha-1)$ и $\vec c=(1;~1;~11)$ компланарны.
Решение. Указание. Векторы компланарны, если $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0$, то есть векторное произведение любых двух векторов ортогонально третьему.
Ответ: $3$, $57$
18. 1014. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(-4;~-3;~0)$, $B(-7;~3;~-\sqrt3)$ и $C(-4;~-6;~2\sqrt3)$.
Найти расстояние от точки $M(5;~3;~3\sqrt3)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.
Ответ: $3x+2y+\sqrt3z+18=0$; 12; $O(-4;~-3;~0)$
19. 1015. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(7;~-5;~0)$, $B(-3;~1;~\sqrt5)$ и $C(-3;~0;~2\sqrt5)$.
Найти расстояние от точки $M(4;~12;~2\sqrt5)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.
Ответ: $7x+10y+2\sqrt5z+1=0$; 13; $O(-3;~2;~0)$
20. 1016. Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(0,~3,~10)$ при осевой симметрии относительно прямой $\displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$.
Ответ: $A'(6,~7,~4)$
21. 1017. Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(6,~7,~4)$ при повороте на $180^{\circ}$ вокруг прямой $\displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$.
Ответ: $A'(0,~3,~10)$
22. 1018. Найти координаты точки $A'$, в которую переходит точка $A(-2,~-5,~17)$ при повороте вокруг прямой $\displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ на угол $\displaystyle\arccos\frac{13}{45}$ против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора $\vec l = (2,~3,~4)$.
Ответ: $(14,~-5,~9)$
23. 1019. Точка $A(1,~2,~3)$ при зеркальной симметрии относительно некоторой плоскости $\alpha$ перешла в точку $A'(5,~0,~5)$.
а) Найти координаты точки $B'$, в которую перейдет точка $B(2,~0,~-1)$ при зеркальной симметрии относительно той же плоскости $\alpha$.
б) Найти точку $C'$, в которую перейдет точка $C(10,~-4,~3)$ при симметрии относительно $\alpha$.
в) Найти точку $D'$, в которую перейдет точка $D(6,~-4,~5)$ при симметрии относительно $\alpha$.
Решение. Указание. Как бы ни были похожи формулировки, это три разные задачи, при решении которых следует проводить разные рассуждения. При решении пункта а) полезно заметить, что $AB\bot AA'$; это позволяет не выписывать уравнение плоскости симметрии. Если с пунктом а) вы уже справились и нашли координаты точки $B'$, то при решении пункта б) можно заметить, что $C$ лежит на прямой $BB'$.
Ответ: $B'(6,~-2,~1)$, $C'(-2,~2,~-3)$, $D'(-2,~0,~1)$
24. 1020. Треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(6,~7,~10)$, $B(3,~-4,~1)$, $C(6,~1,~5)$ проецируется на некоторую плоскость, проходящую через вершину $A$, в отрезок $B'C'$, причем $B'C'=BC$. Написать уравнение плоскости проекции.
Ответ: $3x-y-z-1=0$
25. 1021. Треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(6,~7,~10)$, $B(3,~-4,~1)$, $C(6,~1,~5)$ проецируется на некоторую плоскость, проходящую через начало координат, в равный ему треугольник $A'B'C'$. Написать уравнение плоскости проекции.
Ответ: $3x-y-z-1=0$
26. 1022. Найти координаты точки, симметричной точке $(5,~4,~9)$ относительно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{4}$.
Ответ: $(9,~2,~7)$
27. 1023. Найти координаты точки, симметричной точке $(0,~-4,~-8)$ относительно плоскости $x+2y+3z-10=0$.
Ответ: $(6,~8,~10)$
28. 1024. Найти координаты точки, симметричной точке $(3,~5,~10)$ относительно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{4}$.
Ответ: $(11,~1,~6)$
29. 1025. Верно ли, что точки $A(1, 2, 3)$, $B(2, 5, 1)$, $C(3, 5, 2)$ и $D(5, 11, -2)$ лежат в одной плоскости?
Ответ: Да, верно
30. 1026. Найти координаты точки, симметричной точке $(5,~8,~7)$ относительно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{4}$.
Ответ: $(9,~-2,~9)$