1. 999. Найти угол между прямой $\displaystyle\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{0}$ и плоскостью $x-2y-z-3=0$.
Решение. Найдем угол между направляющим вектором этой прямой $\vec l=(1,~-1,~0)$ и нормальным вектором плоскости $\vec n=(1,~-2,~-1)$: $$\cos \varphi=\frac{\vec l \, \vec n}{|\vec l|\,|\vec n|}=\frac{1\cdot1+(-1)\cdot(-2)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt2\cdot\sqrt6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ Следовательно, $\varphi=30^\circ$. Угол, дополняющий $\varphi$ до $90^\circ$, и будем искомым углом между прямой и плоскостью.
Ответ: 60°
2. 1000. Найти угол между прямой $\displaystyle\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ и плоскостью $x+3y+2z+5=0$.
Ответ: 30°
3. 1065. Через точку $(1,2,3)$ провести плоскость, перпендикулярную к плоскости $5x-2y+5z-10=0$ и образующую с плоскостью $x-4y-8z+12=0$ угол 45°.
Ответ: $x+20y+7z-62=0$, $x-z+2=0$.