Последнее обновление 2023-05-16 01:21:58 (добавлена задача № 6650)
MathProblems.ru — это пополняемая, общедоступная, отлично организованная копилка задач по математике с возможностью автоматически формировать варианты контрольных работ. За подробностями — в раздел «Об этом сайте».
Напишите номера задач, которые вас интересуют (ну или которые вам задали на дом :) и нажмите кнопку «Показать».
Ответ: $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $x=\pi+2\pi k$, $n, k\in\mathbb{Z}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $x=\pi+2\pi k$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi k$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi k$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$, $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n$, $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n$, $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$, $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Разложив знаменатель на множители, получим: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\frac{(5x-9)\,dx}{(x+3)(x-5)}$.
Будем искать разложение подынтегральной функции на простейшие дроби в виде $\displaystyle\frac{5x-9}{(x+3)(x-5)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+3)}{(x+3)(x-5)}=\frac{Ax-5A+Bx+3B}{(x+3)(x-5)}=\frac{(A+B)x-(5A-3B)}{(x+3)(x-5)}$, то есть $A+B=5$ и $5A-3B=9$, откуда $A=3$ и $B=2$.
Окончательно имеем: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\left(\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-5}\right)=3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C.$
Ответ: $3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15
Ответ: $3\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x+4\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15
Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x-3\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15
Ответ: $5\,\log \left|x-3\right|-3\,\log \left|x+1\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15
Ответ: $4\,\log \left|x+3\right|+3\,\log \left|x+2\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15
Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+5\,\log \left|x-3\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15
Ответ: $6\,\log \left|x+4\right|+7\,\log \left|x-3\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15
Решение. $\displaystyle\int\frac{\sin2x-2\cos x}{\cos2x+2\sin x+3}dx=\int\frac{2\sin x\cos x-2\cos x}{1-2\sin^2x+2\sin x+3}=\int\frac{(1-\sin x)\cos x}{\sin^2 x-\sin x-2}\,dx=\ldots$
Замена $t=\sin x$, тогда $dt=\cos x\,dx$.
$\displaystyle\ldots=\int\frac{1-t}{t^2-t-2}\,dt=\frac13\int\left(-\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-2}\right)dt=-\frac23\ln|t+1|-\frac13\ln|t-2|=-\frac23\ln|\sin x+1|-\frac13\ln|\sin x-2|+C$.
Ответ: $\displaystyle-\frac23\ln|\sin x+1|-\frac13\ln|\sin x-2|+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. $\displaystyle\int\frac{(6x-25)\,dx}{x^2-6x+11}=\int\frac{3(2x-6)-7}{x^2-6x+11}=
3\int\frac{(2x-6)\,dx}{x^2-6x+11}-7\int\frac{dx}{(x-3)^2+2}=$
$\displaystyle=3\ln(x^2-6x+11)-\frac{7}{\sqrt2}\textrm{arctg}\frac{x-3}{\sqrt2}+C.$
Ответ: $\displaystyle3\ln(x^2-6x+11)-\frac{7}{\sqrt2}\textrm{arctg}\frac{x-3}{\sqrt2}+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. $\displaystyle\int\frac{(6x-11)\,dx}{\sqrt{6x-x^2-5}}=\int\frac{-3(6-2x)+7}{\sqrt{6x-x^2-5}}dx= -3\int\frac{6-2x}{\sqrt{6x-x^2-5}}+7\int\frac{dx}{\sqrt{4-(x-3)^2}}=-6\sqrt{6x-x^2-5}+7\arcsin\frac{x-3}{2}+C$.
Ответ: $\displaystyle-6\sqrt{6x-x^2-5}+7\arcsin\frac{x-3}{2}+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $3\,\ln \left(x^2+4\,x+5\right)+5\,\text{arctg}\, \left(x+2\right)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $\displaystyle-5\arcsin\frac{x+1}{2}-4\sqrt{-x^2-2\,x+3}+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $\displaystyle2\,\ln\left(x^2+2x+5\right)+\frac52\,\text{arctg}\,\frac{x+1}{2}+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $\displaystyle-7\,\arcsin\frac{x+3}{4}-6\,\sqrt{-x^2-6\,x+7}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $\displaystyle2\,\ln \left(x^2-2\,x+10\right)-\frac73\,\text{arctg}\,\frac{x-1}{3}+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $\displaystyle-4\sqrt{-x^2-4\,x+5}+7\,\arcsin\frac{x+2}{3}+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru