Номер страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  12  13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30  ... 217

349. Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на сжатие? Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади ее поперечного сечения.

350. Лампа висит над центром круглого стола радиуса $r$. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

351. На прямолинейном отрезке длины $a$, соединяющем два источника света с интенсивностями $I_1$ и $I_2$, найти точку, освещаемую слабее всего. Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

352. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $y=\sqrt{|x|}$.

353. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $\displaystyle y=1+x^2/2$.

354. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $\displaystyle y=|x|^3$.

355. На оси ординат найти точку, через которую можно провести две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции $y=\cos x$.

356. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(3;~4{,}5)$ до линии $xy=1$.

357. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2-2x-3$, точка $N$ — на прямой $x-y=7$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$.

358. На графике функции $y=x^3-2x^2+5$ найти точку, касательная в которой отсекает от координатных осей отрезки равной длины.

359. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(2;~10)$ до линии $y=\sqrt{x}$.

360. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2-2x-3$, точка $N$ — на линии $x^2+y^2-10x+10y+46=0$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$. Ответ округлите до сотых. Замечание. Действительный корень многочлена $2x^3-6x^2+9x-9$ примерно равен $x_0 \approx 1{,}8796$.}

361. Написать уравнения трёх параллельных касательных к графику функции $y=2x^6-15x^4+24x^2$.

362. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(2;~2{,}5)$ до линии $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$.

363. Точка $M$ лежит на линии $y=\sqrt{x}$, точка $N$ — на прямой $y-x=2$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$.

364. К параболе $y=x^2$ проведены касательные в точках $A$ и $B$, пересекающиеся в точке $C$. Треугольник $ABC$ — равносторонний. Найти координаты точки $C$.

365. Точка $M$ лежит на параболе $y=x^2$, точка $N$ — на линии $x^2+y^2-10x-2y+22=0$. Найти наименьшее расстояние между точками $M$ и $N$. Ответ округлите до сотых. Действительный корень многочлена $2x^3-x-5$ примерно равен $x_0 \approx 1{,}4797$.

438. Исследовать функцию $y=(2-x)(x^2-x-2)$ и построить её график.

439. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18x^2(x+6)$ и построить её график.

440. Исследовать функцию $y=\displaystyle 9x-6x^2+x^3$ и построить её график.

441. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18(x-8)(x-2)^2$ и построить её график.

442. Исследовать функцию $y=\displaystyle (x+1)(x^2+5x+4)$ и построить её график.

443. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18(x-4)(x^2-2x-8)$ и построить её график.

444. Исследовать функцию $y=\displaystyle (x-1)(x+2)^2$ и построить её график.

445. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18 (x+2)(8x-x^2-16)$ и построить её график.

446. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac14 (x-6)(x^2-3x+6)$ и построить её график.

447. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18 (x^3-12x^2+36x)$ и построить её график.

448. Исследовать функцию $y=\displaystyle (x+2)(x-1)^2$ и построить её график.

449. Исследовать функцию $y=\displaystyle \frac18 (x+2)^2(x+8)$ и построить её график.

450. Исследовать функцию $y=\displaystyle x^3+3x^2$ и построить её график.