б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [-\pi;~5\pi]$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-07 09:22:50
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-07 09:30:09
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-10 06:30:50
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-10 07:31:18
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-10 07:50:29
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
Ответ: $\pi\sqrt{10}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-14 04:09:50
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
Ответ: 108
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-14 04:11:13
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.
Ответ: $7{,}2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-14 04:12:06
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что угол $ANO$ — прямой.
б) Найдите угол между прямой $BM$ и плоскостью основания конуса, если $AB=8$.
Ответ: $30^{\circ}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-14 04:12:44
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше высоты основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
Ответ: $\pi\sqrt{3}:24$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-14 04:13:10
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ: $2:1$; $a\sqrt{\frac{2}{15}}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-16 14:12:01
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ: а) $\frac{a^{3}}{2}$; б) $\frac{a}{\sqrt{6}}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-16 14:12:11
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
Ответ: 7,2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-16 14:12:21
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ: $9:23$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-16 14:12:31
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ: $11:14$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-16 14:12:40
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB$, а прямая $MK$ — сторону $BC$?
б) Найдите отношение $MN:KL$, если $LM:KN=3:7$.
Ответ: а) $1:1$; $5:9$; б) $5:21$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-17 08:41:03
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что $\angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}$.
б) Известно, что $A_{1}B_{1}=26$, $B_{1}C_{1}=28$, $A_{1}C_{1}=30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ: 1365
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-17 08:41:14
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Ответ: $\frac{255}{8}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-17 08:41:24
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Ответ: $80^{\circ}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-17 08:41:34
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
Ответ: 510
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-17 08:41:43
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что треугольник $DBE$ равновелик трапеции $ABCD$.
б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 24, а средняя линия равна 13.
Ответ: 120
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-18 15:16:38
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если известно также, что $\cos\angle BAC=\frac{3}{5}$ и $BC=48$.
Ответ: 25
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-18 15:16:46
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что треугольник $ABH$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ACH$, если известно, что боковая сторона трапеции равна 2, $\angle BOC=60^{\circ}$, а $BC$ — меньшее основание.
Ответ: $\sqrt{3}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-18 15:16:56
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что треугольник $AMC$ равнобедренный.
б) Найдите $BK$, если известно, что $\angle OAC=60^{\circ}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-18 15:17:06
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что угол $BOC$ вдвое больше угла $BTC$.
б) Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
Ответ: $6$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-18 15:17:16
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
Ответ: $\sqrt{rR}$, $\sqrt{\frac{r}{R}}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-24 13:44:51
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что отрезки $KQ$ и $LP$ делят отрезок $FM$ на три равных отрезка.
б) Известно, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна 18. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — точки пересечения прямых $EN$, $FM$, $KQ$ и $LP$.
Ответ: 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-24 13:45:12
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
Ответ: 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-24 13:45:22
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Ответ: $80^{\circ}$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-24 13:45:32
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2020-04-28 09:08:35
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru