
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $2x+3y-8=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $4x-3y+25=0$, $d=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $M(1,~1)$, $K(1,~5)$, $MK=4$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $2x+3y-9=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $3x-4y+25=0$, $d=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $M(2,~-1)$, $K(-1,~3)$, $MK=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $5x+2y-12=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $3x+4y+25=0$, $d=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $M(2,~1)$, $K(-2,~4)$, $MK=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $4x-3y+11=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $4x+3y+25=0$, $d=5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $M(-3,~2)$, $K(-2,~7)$, $MK=\sqrt{26}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Так как искомая точка лежит на оси абсцисс, ее координата по оси ординат равна $0$. Будем искать координаты точки $M$ в виде $(x,~0)$. По условию задачи $AM=BM$. Cоставим уравнение на $x$, приравняв выражения для квадратов длин отрезков $AM$ и $BM$: $$(x-(-7))^2+(0-2)^2=(x-9)^2+(0-6)^2,$$ решив которое, получим $x=2$.
Ответ: $M(2,~0)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $M(0,~3)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Найдем координаты вектора $\overline{BO}=(0-(-6),~2-0)=\overline{(6,~2)}$. Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины, то $\overline{OP}=\frac12\overline{BO}=(3,~1)$. Теперь, зная координаты точки $O$ и координаты вектора $\overline{OP}$, можно найти координаты точки $P$. Так как $P$ — середина $AC$ и координаты точки $C$ известны из условия задачи, завершить решение не составит труда. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $A(1,~8)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $(-1,~1)$; $90^{\circ}$; $60$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: 15
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Замечание. У данной прямой $5x+6y+7=0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec n=(5,~6)$. У прямой, ей параллельной, нормальный вектор должен быть таким же.
Ответ: $5x+6y+8=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $y=-x/2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $3\sqrt{17}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $5x-2y+3=0$; $58$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $AK$: $x-3y+4=0$, $BM$: $3x+y+2=0$; $90^{\circ}$; $(-1,~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, является срединный перпендикуляр отрезка $AB$. Задача сводится к тому, чтобы написать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ перпендикулярно прямой $AB$, и найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.
Координаты точки $O$ (середины отрезка $AB$) равны $$O\left(\frac{-2+4}{2},~\frac{-1+1}{2}\right)=O(1,~0).$$
Нормальным вектором для срединного перпендикуляра может служить любой вектор, коллинеарный вектору $\overline{AB}=(4-(-2), 1-(-1))=\overline{(6,~2)}$. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку $O(1,~0)$ с нормальным вектором $\vec n=(3,~1)$: $3(x-1)+(y-0)=0 \Leftrightarrow y=3-3x$. Осталось положить в этом уравнении $x=0$, чтобы найти координаты точки пересечения данной прямой с осью ординат. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $M(0,~3)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $O(2,~1)$; $(x-2)^2+(y-1)^2=25$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Найдем координаты точки $K$ (середины стороны $AB$): $K(1,~0)$. Так как медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является и высотой, то $CK\perp AB$ и вектор $\overline{AB}=(8,~2)\parallel\overline{(4,~1)}$ может служить нормальным вектором для прямой $CK$. Запишем общее уравнение прямой $CK$, проходящей через точку $K(1,~0)$ с нормальным вектором $\vec n=(4,~1)$: $4(x-1)+y=0 \Leftrightarrow y=4-4x$. Точка $C$ лежит на прямой $CK$, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Будем искать координаты точки $C$ в виде $C(x, 4-4x)$. По условию задачи $AC^2=85$. Составим соответствующее уравнение: $$(x-(-3))^2+(4-4x-(-1))^2=85,$$ решив которое, получим абсциссу точки $C$ (возможно два решения: положение точки $C$ над стороной $AB$ и под ней). Закончите решение задачи самостоятельно.
Ответ: $C(-1,~8)$ или $C(3,~-8)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru