

Ответ: $(4,~7)$ и $(-4,~-5)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $D(-15,~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $x+8y-14=0$; $\displaystyle L\left(\frac{14}{9},~\frac{14}{9}\right)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Пусть прямая, на которой лежит сторона $BC$ квадрата, имеет угловой коэффициент наклона $k$. Так как она проходит через точку $L(4,~7)$, ее уравнение запишем в виде $y=kx-4k+7$ или, что то же самое, $kx-y-4k+7=0$. Так как прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BC$, ее угловой коэффициент наклона равен $-\frac1k$. Эта прямая проходит через точку $M(6,~-2)$, и ее уравнение запишется в виде $y=-\frac{x}{k}+\frac{6}{k}-2$, откуда $x+ky+2k-6=0$.
Теперь найдем расстояние $d_1$ от точки $K(-6,~1)$ до прямой $CD$ с уравнением $x+ky+2k-6=0$ и расстояние $d_2$ от точки $N(-3,~-4)$ до прямой $BC$ с уравнением $kx-y-4k+7=0$:
$$\begin{aligned}
d_1=&\frac{|-6+k\cdot1+2k-6|}{\sqrt{1+k^2}}, \\
d_2=&\frac{|k\cdot(-3)-(-4)-4k+7|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}.
\end{aligned}$$
Приравняв $d_1$ и $d_2$, получим уравнение $|3k-12|=|11-7k|$, откуда $\displaystyle k=-\frac14$ или $k=2{,}3$.
Осталось подставить найденное $\displaystyle k=-\frac14$ в выражение для $d_1$ (или для $d_2$): $$d_1=\frac{\left|3\cdot\left(-\frac14\right)-12\right|}{\sqrt{1+\left(\frac14\right)^2}}=3\sqrt{17}.$$ Площадь квадрата со стороной $3\sqrt{17}$ равна $(3\sqrt{17})^2=153$.
Замечание. При $k=-1/4$ действительно получается квадрат с вершинами в точках $A(-7,~-3)$, $B(-4,~9)$, $C(8,~6)$ и $D(5,~-6)$. Выясните, каков геометрический смысл второго корня: $k=2{,}3$.
Ответ: $153$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Будем искать уравнения этих прямых в виде $y=kx+b$. Так как прямые проходят через точку $M(-6,~-3)$, легко найти (выразить через $k$) коэффициент $b$; при этом получим прямые вида $y=kx+6k-3 \Leftrightarrow kx-y+6k-3$. Уравнение на $k$ составим, воспользовавшись известной формулой для расстояния от точки до прямой: по условию задачи расстояние от точки $(0,~0)$ до прямой $kx-y+6k-3=0$ равно $3$. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $y=-3$, $4x-3y+15=0$, $\text{tg}\,\alpha=4/3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle\frac{23}{5\sqrt{29}}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $4/\sqrt{17}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $91/17$, $221/7$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{7}{\sqrt{65}}$; $\displaystyle\frac{78}{5}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$; $20$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle\frac{3\sqrt7}{8}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2007 — ISBN 978-5-94057-304-3

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9-10 кл. — М.: Просвещение, 1979.

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: Агаханов Н. Х., Богданов И. И., Кожевников П. А. и др. Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2009: Заключительные этапы. — М.: МЦНМО, 2010 — ISBN 978-5-94057-602-0.

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: Конягин С. В., Тоноян Г. А., Шарыгин И. Ф. и др. Зарубежные математические олимпиады. / Под ред. И. Н. Сергеева. — М.: Наука, 1987.


Ответ: $\frac{17}{\sqrt{1189}}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\frac{13}{5\sqrt{10}}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $(-1;-3)$; $\displaystyle\left (\frac{13}{5}; -\frac{9}{5}\right )$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $(1;-3)$; $\left (-\frac{13}{5}; -\frac{9}{5}\right )$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Если начало системы координат совместить с центром квадрата, а координатные оси направить вдоль сторон квадрата, то уравнение прямой, проходящей через центр квадрата, запишется в виде $Ax+By=0$ для произвольных $A$ и $B$. Расстояния от вершин квадрата до этой прямой вычисляются известным образом. Например, расстояние от точки $\displaystyle\left(\frac12,~\frac12\right)$ до данной прямой равно $\displaystyle d_1=\frac{\left|\frac12A+\frac12B\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, а квадрат этого расстояния равен $$d_1^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4(a^2+b^2)}.$$ Закончите решение самостоятельно: вычислите квадраты трёх других расстояний и нужную сумму.
Ответ: 1
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9-10 кл. — М.: Просвещение, 1979.


Ответ: $\displaystyle\max_{[-2,1]}f(x)=f(-1)=7$, $\displaystyle\min_{[-2,1]}f(x)=f(1)=-13$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 963 964 965 966


Ответ: $\displaystyle\max_{[-2,1]}f(x)=f(-1)=5$, $\displaystyle\min_{[-2,1]}f(x)=f(1)=-11$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 963 964 965 966


Ответ: $\displaystyle\max_{[0,2]}f(x)=f(2)=4$, $\displaystyle\min_{[0,2]}f(x)=f(1)=-13$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 963 964 965 966


Ответ: $\displaystyle\max_{[0,4]}f(x)=f(1)=f(4)=4$, $\displaystyle\min_{[0,4]}f(x)=f(0)=f(3)=0$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 963 964 965 966