Номер страницы: 1 ...  18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32  33  34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47  ... 210

1120. Найти интеграл: $\displaystyle\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx$.

1121. Найти интеграл: $\displaystyle\int x\sin 2x\,dx$.

1122. Окружность $x^2+y^2=8$ разделена параболой $\displaystyle y=\frac12x^2$ на две части. Найти площади обеих частей.

1123. Стержень $AB$, длина которого равна $l$, масса $M$, притягивает точку $C$ массы $m$, которая лежит на его продолжении на расстоянии $a$ от ближайшего конца $B$ стержня. Найти силу взаимодействия стержня и точки.

1124. На диагоналях $D_{1}A$, $A_{1}B$, $B_{1}C$, $C_{1}D$ граней куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ взяты соответственно точки $M$, $N$, $P$, $Q$, причём $$ D_{1}M:D_{1}A=BN:BA_{1}=B_{1}P:B_{1}C=DQ:DC_{1}=\mu, $$ а прямые $MN$ и $PQ$ взаимно перпендикулярны. Найдите $\mu$.

1125. В правильном тетраэдре $ABCD$ с ребром $a$ точка $M$ — середина $AB$, $K$ — середина $CD$. Найдите угол и расстояние между прямыми $CM$ и $BK$. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок $CM$ и $BK$?

1126. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ плоскости $\alpha$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $DD_{1}$. Найдите расстояние от середины ребра $CD$ до плоскости $\alpha$, если ребро куба равно 4.

1127. Написать уравнения касательных к графику функции $y=18\ln x-x^3+9x^2-33x+27$ в точках её максимума.

1128. Написать уравнение касательной к графику функции $y=12\ln x+x^2-10x+8$ в точке её минимума.

1129. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x(2e^x-xe^2-2e^2)$, параллельных оси абсцисс.

1130. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x-2\ln(x^2+1)+2\text{arctg}\,x$, параллельных оси абсцисс.

1131. Написать уравнение касательной к графику функции $y=\ln(4x-x^2)$, параллельной оси абсцисс.

1132. Написать уравнение касательной к графику функции $y=\ln(2x^3+3x^2-12x)$, параллельной оси абсцисс.

1133. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^3-x^2+4}{x^2}$.
а) Для каждого $a$ указать количество корней уравнения $f(x)=a$.
б) Для каждого $a$ указать количество корней уравнения $f(x)=a-7x$.

1134. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x+3}{x-2}$.
а) Для каждого $a$ найти количество корней уравнения $f(x)=a(x-2)+1$
б) Для каждого $a$ найти количество корней уравнения $f(x)=a(x-2)+2$.

1135. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\cos4x+2\cos2x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{6},~\frac{\pi}{3}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

1136. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\cos⁡4x-2\cos⁡2x$ на отрезке $\displaystyle\left[\frac{\pi}{3},~\frac{5\pi}{6}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

1137. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\sin4x+2\sin2x$ на отрезке $\displaystyle\left[0,~\frac{2\pi}{3}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

1138. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\sin6x+2\cos3x$ на отрезке $\displaystyle\left[0,~\frac{2\pi}{9}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.

1139. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=3$, $BC=2$, $CC_{1}=4$. На ребре $AB$ взята точка $M$, причём $AM:MB=1:2$; $K$ — точка пересечения диагоналей грани $CC_{1}D_{1}D$. Найдите угол и расстояние между прямыми $D_{1}M$ и $B_{1}K$.

1140. Основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза $AB$ которого равна $4\sqrt{2}$. Боковое ребро пирамиды $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $AC$, а другая проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$.

1141. На рёбрах $NN_{1}$ и $KN$ куба $KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}$ отмечены точки $P$ и $Q$, причём $\displaystyle\frac{KQ}{QN}=\frac{1}{4}$, $\displaystyle\frac{NP}{PN_{1}}=4$. Через точки $M_{1}$, $P$ и $Q$ проведена плоскость. Найдите расстояние от точки $K$ до этой плоскости, если ребро куба равно 3.

1142. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}$.

1143. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}$.

1144. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sqrt x\,dx}{\sqrt x-1}$.

1145. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sqrt x\,dx}{1+x}$.

1146. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x}}$.

1147. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{x\,dx}{1+\sqrt x}$.

1148. Найти интеграл: $\int \text{tg}\,x\,dx$.

1149. Найти интеграл: $\int \text{ctg}\,x\,dx$.