Номер страницы: 1 ...  23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37  38  39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52  ... 209

1271. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=\ln x$, $y=0$, $x=e^2$.

1272. Найти площадь петли линии $y^2=x(x-1)^2$

1273. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией $y^2=(1-x^2)^3$

1274. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией $y^2=x^2-x^4$

1275. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$ и касательными к ней, проведенными в точках $(-2,~2)$ и $(4,~8)$.

1276. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=\sqrt{x}$ и касательными к ней, проведенными в точках $(1,~1)$ и $(9,~3)$.

1277. Решить (относительно $x$) уравнение $\int_1^x (2t+4)\,dt=0$.

1278. Решить (относительно $x$) уравнение $\int_x^{2x} \cos t\,dt=0$.

1281. Вычислить $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{2+6\cos^2x}{1+\cos 2x}\,dx$.

1282. Найти первообразную функции $(e^x+e^{-x})^2$, проходящую через точку $\displaystyle\left(\frac12,~\frac{e^2-1}{2e}\right)$.

1283. Вычислить $\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\frac{x^2+4}{x^2+1}\,dx$.

1284. Найти $\displaystyle\int\frac{4x^2+2x+1}{4x^3+x}\,dx$.

1285. Найти первообразную функции $\displaystyle\frac{(x+1)^2}{\sqrt x}$, проходящую через точку $\displaystyle\left(4,~\frac{7}{15}\right)$.

1286. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами $y=2x^2-4x+1$ и $y=-2x^2+8x+1$. Сделайте чертеж.

1287. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\sqrt x$ и прямой $y=x/3$.

1288. Треугольная пластинка погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки $a$, высота $h$. Найти силу давления воды на пластинку.

1289. Сделав подходящую замену переменной, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\cos x\,dx}{\sqrt{\sin x}}$.

1290. Найти площадь фигуры, ограниченной линией $y=12-|x|$ и параболой $y=\displaystyle\frac{x^2}{2}$. Сделайте чертеж.

1291. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ и прямыми $x=-1$, $x=1$.

1292. Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра плотность $\rho$ с радиусом основания $R$ и высотой $h$, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси.

1293. Применив формулу интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.
Замечание. Этот интеграл берётся также заменой $x=\sin t$, но, пожалуйста, выполните задание: воспользуйтесь интегрированием по частям.

1294. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и прямыми $y=4$ и $y=9$. Сделайте чертеж.

1295. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной гиперболой $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ и прямыми $x=1$, $x=2$.

1296. Найти силу давления воды на полукруг радиуса $R$, погруженный вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды.

1297. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\ln x$ и прямой $y=\displaystyle\frac{2(x-1)}{e^2-1}$. Сделайте чертеж.
Указание. $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$.

1298. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией $x^2+y^2=25$, прямой $4x=3y$ и осью абсцисс.

1299. Треугольная пластинка погружена вертикально в воду так, что ее вершина (противолежащая основанию) лежит на поверхности воды. Основание пластинки $a$, высота $h$. Найти силу давления воды на пластинку.

1300. Сделав подходящую замену переменной, вычислить $\displaystyle\int_{\sin 1}^{\sin\sqrt[3]{e}}\frac{dx}{\arcsin x\sqrt{1-x^2}}$.

1301. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=2^x$ и прямой $\displaystyle y=\frac73\,x+1$. Сделайте чертеж.

1302. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной графиком функции $y=e^x$ и прямыми $x=0$ и $y=e^2$.
Указание. $\int\ln^2 x\,dx=x(\ln^2 x-2\ln x+2)+C$.