Ответ: За 30 дней
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: За 11 дней
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 1,5 года
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: -4, -3, 2, 3
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: −2, −1, 2, 3
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: −4, −3, 1, 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-5/2$, $-3/2$, 1, 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: −2, −1, 3, 4
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Если число $2+\sqrt3$ — один из корней данного многочлена, то и сопряженное число $2-\sqrt3$ также является его корнем. Найдем квадратный трехчлен с корнями $2\pm\sqrt3$: $(x-(2+\sqrt3))(x-(2-\sqrt3))=((x-2)-\sqrt3))((x-2)+\sqrt3))=(x-2)^2-3=x^2-4x+1$. Разделив (уголком) данный многочлен на $x^2-4x+1$ (проделайте это самостоятельно), получим квадратный трехчлен $6x^2-7x+2$, корни которого — $\displaystyle\frac12$ и $\displaystyle\frac23$.
Ответ: $\displaystyle\frac12$, $\displaystyle\frac23$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $1-\sqrt5$, $\displaystyle-\frac13$, $\displaystyle\frac14$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Убедившись, что $x=0$ не является корнем уравнения, разделим уравнение на $x^2$:
$x^2+x-16+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=0.$
Сделаем замену $\displaystyle y=x+\frac2x$, тогда $\displaystyle y^2=x^2+4+\frac{4}{x^2}$:
$\displaystyle
\begin{aligned}
&\left(x^2+\frac{4}{x^2}+4\right)+x+\frac{2}{x}-20=0, \\
&y^2+y-20=0.
\end{aligned}
$
Полученное относительно $y$ уравнение имеет корни $-5$ и $4$. Осталось решить уравнения $\displaystyle x+\frac2x=-5$ и $\displaystyle x+\frac2x=4$, сводящиеся к квадратным.
Ответ: $2\pm\sqrt2$, $\displaystyle\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $2\pm\sqrt6$, $\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Последовательно преобразуем уравнение:
$\displaystyle\begin{aligned}
&x(x-2) \cdot x(x-4)=2x^2-6x-1, \\
&(x^2-2x)\cdot(x^2-4x)=2x^2-6x-1, \\
&(x^2-2x)\cdot(x^2-4x)=x^2+x^2-2x-4x-1, \\
&(x^2-2x)(x^2-4x)=(x^2-2x)+(x^2-4x)-1, \\
&(x^2-2x)(x^2-4x)-(x^2-2x)-(x^2-4x)+1=0, \\
&(x^2-2x)((x^2-4x)-1)-((x^2-4x)-1)=0,\\
&(x^2-4x-1)(x^2-2x-1)=0.\\
\end{aligned}$
Осталось решить уравнения $x^2-4x-1=0$ и $x^2-2x-1=0$.
Ответ: $1\pm\sqrt2$, $2\pm\sqrt5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Указание. $-3x^2+14x=-4x^2+x^2+16x-2x=-4(x^2-4x)+(x^2-2x)$
Ответ: $2\pm\sqrt3$, $1\pm\sqrt5$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Замена $y=x^3+x$ приводит к уравнению $y^2-12y+20=0$, имеющему корни $y=10$ и $y=2$. Корни уравнений $x^3+x=2$ и $x^3+x=10$ легко угадываются: $x=1$, $x=2$.
Нужно показать, что других корней, кроме угаданных 1 и 2, эти два уравнения не имеют. Для этого можно, выполнив деление уголком, записать разложения соответствующих многочленов на двучлен и квадратный трехчлен: $x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)$ и $x^3+x-10=(x-2)(x^2+2x+5)$. Уравнения $x^2+x+2=0$ и $x^2+2x+5=0$, в свою очередь, не имеют действительных корней.
Ответ: 1, 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 1
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $1-\sqrt2$, $\displaystyle\frac12$, $\displaystyle\frac13$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $1\pm\sqrt3$, $\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Решение. Представьте $7x^2-30x$ как $6x^2+x^2-24x-6x$. Подходящим образом сгруппировав слагаемые, разложите левую часть уравнения на множители.
Ответ: $2\pm\sqrt3$, $3\pm\sqrt3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: 1, 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $1-\sqrt3$, $-\displaystyle\frac12$, $\displaystyle\frac23$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $2/5$, $3/2$, −1
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n$, $\displaystyle (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-1$, $-\frac{\pi}{6}$, $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-1$, $-\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\pi$, $4$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-2$, $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{6}$, $1$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: $-\frac12$, $0$, $\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$, $\frac{\pi}{2}$, $2$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: −2, $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{3}$, 1
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Ответ: −2, $-\frac{7\pi}{12}$, $\frac{\pi}{12}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{12}$, 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru