№ 10040

При каких значениях параметра $a\in\mathbb R$ наибольшее расстояние между корнями уравнения \[ a\operatorname{tg}^3x+\left(2-a-a^2\right)\operatorname{tg}^2x+\left(a^2-2a-2\right)\operatorname{tg}x+2a=0, \] принадлежащими интервалу $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$, принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.