Задача
№ 12824
Математическое ожидание, дисперсия
Ур. 6
Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике, 6–11 классы, основной тур, 2018, задача 19
В книге Щепана Еленьского имеется небольшой очерк о чемоданах.
В универмаг прислали 10 чемоданов, а в конверте отдельно 10 ключей, причём предупредили, что каждый ключ открывает только 1 чемодан и что к каждому чемодану можно подобрать подходящий ключ.
Работник универмага, который получал эти чемоданы, вздохнул:
— Сколько возни с подбором ключей! Я знаю, какими упрямыми бывают неодушевлённые предметы! Начнёшь подбирать ключ к первому чемодану, и обязательно окажется, что подойдёт только десятый ключ. Десять раз перепробуешь ключи из-за одного чемодана, а из-за десяти — целых сто раз!
Не будем цитировать Еленьского дальше, а кратко перескажем суть. Продавщица сказала, что число попыток не больше $10+9+8+\ldots+2+1=55$, другой сотрудник предложил ещё уменьшить число попыток, поскольку если ключ не подошёл к 9 чемоданам, то уж к десятому он точно подойдёт. Значит, число попыток не больше $9+8+\ldots+1=45$. Кроме того, он заявил, что так произойдёт только в самом неудачном случае — тогда, когда каждый раз ключ будет подходить к последнему чемодану. Нужно рассчитывать, что в реальности число попыток будет равно примерно половине наибольшего возможного числа попыток, то есть 22,5.
Игорь Федорович Акулич из Минска задумался, по какой такой причине среднее число попыток равно половине числа 45? Ведь последняя попытка не нужна, только если ключ не подошёл ни к одному чемодану, кроме последнего, а во всех других случаях последняя удачная попытка тоже имеет место. Акулич предположил, что утверждение про 22,5 попыток голословное, и на самом деле всё немного не так.
Задача. Найдите математическое ожидание числа попыток (считаются все попытки открыть чемоданы — неудачные и удачные, в том случае, когда нет ясности).
В универмаг прислали 10 чемоданов, а в конверте отдельно 10 ключей, причём предупредили, что каждый ключ открывает только 1 чемодан и что к каждому чемодану можно подобрать подходящий ключ.
Работник универмага, который получал эти чемоданы, вздохнул:
— Сколько возни с подбором ключей! Я знаю, какими упрямыми бывают неодушевлённые предметы! Начнёшь подбирать ключ к первому чемодану, и обязательно окажется, что подойдёт только десятый ключ. Десять раз перепробуешь ключи из-за одного чемодана, а из-за десяти — целых сто раз!
Не будем цитировать Еленьского дальше, а кратко перескажем суть. Продавщица сказала, что число попыток не больше $10+9+8+\ldots+2+1=55$, другой сотрудник предложил ещё уменьшить число попыток, поскольку если ключ не подошёл к 9 чемоданам, то уж к десятому он точно подойдёт. Значит, число попыток не больше $9+8+\ldots+1=45$. Кроме того, он заявил, что так произойдёт только в самом неудачном случае — тогда, когда каждый раз ключ будет подходить к последнему чемодану. Нужно рассчитывать, что в реальности число попыток будет равно примерно половине наибольшего возможного числа попыток, то есть 22,5.
Игорь Федорович Акулич из Минска задумался, по какой такой причине среднее число попыток равно половине числа 45? Ведь последняя попытка не нужна, только если ключ не подошёл ни к одному чемодану, кроме последнего, а во всех других случаях последняя удачная попытка тоже имеет место. Акулич предположил, что утверждение про 22,5 попыток голословное, и на самом деле всё немного не так.
Задача. Найдите математическое ожидание числа попыток (считаются все попытки открыть чемоданы — неудачные и удачные, в том случае, когда нет ясности).
Ответ:
Решение: