№ 13017

Илья Муромец встречает трехголового Змея Горыныча и начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. Пусть $x$ — живучесть Змея ($x\gt 0$). Вероятность того, что на месте отрубленной головы вырастет $k$ новых голов ($k=0,\,1,\,2$), равна $$p_k=\dfrac{x^k}{1+x+x^2}.$$
В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получилась следующая последовательность: $$K=(1,\,2,\,2,\,1,\,0,\,2,\,1,\,0,\,1,\,2).$$
Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность последовательности $K$ наибольшая*.
* Описанный метод поиска оценки параметра модели, исходящий из максимума вероятностей осуществившихся событий, является разновидностью метода наибольшего правдоподобия.