№ 13020

Пусть даны два числовых набора: $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ и $Y=\{y_1,y_2,\ldots,y_m\}$. В первом $n$ чисел, во втором — $m$ чисел. Прямой суммой или просто суммой $X\oplus Y$ этих наборов назовём набор, состоящий из всевозможных сумм $x_k+y_j$. Всего в наборе $X\oplus Y$ ровно $mn$ чисел. Сумму наборов удобно представить таблицей. На рис. 4 показана сумма наборов $X=\{1,\ 2,\ 3\}$ и $Y=\{0,\ 4,\ 5\}$. Если записать эту сумму в строчку и заодно упорядочить по возрастанию, получится $$X\oplus Y=\{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 7,\ 8\}.$$

Рис. 4
Рассмотрим медианы данных наборов и медиану их суммы. Медиана первого набора $M_X=2$, медиана второго равна $M_Y=4$, а медиана их суммы равна $M_{X\oplus Y}=6$ (на рисунке все три медианы выделены). Получилось равенство $M_{X\oplus Y}=M_X+M_Y$. Всегда ли медиана суммы равна сумме медиан?
а) Приведите какой-нибудь пример двух числовых наборов, у которых медиана их суммы отличается от суммы их медиан на 1.
б) Однажды Рассеянный Учёный изучал два таинственных числовых набора. Про первый набор ничего не известно вообще, а про второй известно, что его наименьшее значение равно 1, а наибольшее равно 5. Несмотря на скудость этих данных, Учёный путем сложных вычислений нашёл, что медиана суммы этих двух наборов больше суммы их медиан на 4,5. Может ли такое быть? Приведите пример таких двух наборов или докажите, что их не существует.