№ 13827

В стране $N$ городов. В ней действует $N(N-1)$ дорог с односторонним движением: по одной дороге из $X$ в $Y$ для каждой упорядоченной пары городов $X\ne Y$. У каждой дороги есть цена её обслуживания. Для данного $k=1,\ldots,N$ рассмотрим все способы выделить $k$ городов и $N-k$ дорог так, чтобы из каждого города можно было попасть в какой-то выделенный город, пользуясь только выделенными дорогами. Такую систему городов и дорог с наименьшей суммарной стоимостью обслуживания назовём $k$-оптимальной. Докажите, что города можно пронумеровать от 1 до $N$ так, что при каждом $k=1,2,\ldots,N$ существует $k$-оптимальная система дорог с выделенными городами $1,2,\ldots,k$.