Задача
№ 13856
Игры и стратегии
Ур. 6
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 11 класс, муниципальный этап 2023/24 уч. г. (Москва), задача 8
Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит $a$ камней, а на правой — $b$ камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра.
Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, причём больше, чем соперник переложил на предыдущем ходу (первым ходом можно переложить любое количество камней, большее 0). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
1. Какое наибольшее количество ходов может быть сделано в игре, если $a=7$ и $b=10$?
2. Рассмотрим все пары натуральных чисел $(a,b)$ такие, что $1\leqslant a\leqslant 10$ и $1\leqslant b\leqslant 10$. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию? (Если числа $a$ и $b$ различны, то пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.)
Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, причём больше, чем соперник переложил на предыдущем ходу (первым ходом можно переложить любое количество камней, большее 0). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
1. Какое наибольшее количество ходов может быть сделано в игре, если $a=7$ и $b=10$?
2. Рассмотрим все пары натуральных чисел $(a,b)$ такие, что $1\leqslant a\leqslant 10$ и $1\leqslant b\leqslant 10$. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию? (Если числа $a$ и $b$ различны, то пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.)
Ответ:
Решение: