№ 13872

Дано натуральное число $n\gt 100$. Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите, что Петя может добиться того, чтобы знаменатель оставшейся дроби через $n$ минут не превышал $2^n+50$ вне зависимости от действий Васи.